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#1 01-10-2018 15:17:24

leo0
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DM géométrie

Bonjour,

$ABCD$ est un rectangle, $M,N,P$ et $Q$ sont respectivement les points de $[AB]$ $[BC]$ $[CD]$ et $[DA]$ tel que $AM = BN = CP = DQ$
[AD] = 4 cm et $[AB] = AD \times m$ où $m$ est un réel compris entre $0$ et $3$.
on pose $AM = x$ et on note $f(x)$ l'aire du rectangle MNPQ en fonction de $x$.

1- démontrer que $f(x)= 2x² - ( 4 + 4m ) x + 16 m $

2- calculer la forme canonique

3 - en déduire les variations de $f(x)$, son extremum et la valeur pour laquelle il est atteint


$f(x) = aire  (ABCD) - 2 \times aire  triangle ( QAM) + 2 \times aire  triangle (MBN) $

Aire du triangle $QAM$

$QAM = \frac{AM \times QA}{2}  = \frac{x \times (4 - x)}{2} =  \frac{4x \times  -x^2}{2} $


puis l'aire du triangle $MBN$

$MBN = \frac{MB \times BN}{2} = \frac{4mx - x²}{2} $




$f(x) = 16 m - \left[2\times \frac{(4x \times - x²)}{2} + 2\times \frac{(4mx - x²)}{2}\right] $

les $2 $ se simplifient en haut et en bas, pour avoir :

$f(x) = 16 m - \left((4 x \times - x² ) + (4mx - x²)\right)$

$f(x) = 16 m - \left(-2x² + 4x + 4mx\right) = 16 m + 2x² - 4x - 4mx = 16 m + 2x² -   (4  + 4m) x$



avant de tout recopier, j'ai essayer une autre méthode

dans le triangle $QAM$

$AM² + AQ² = QM²$
<=>
$x² + (4 - x )²  = QM²$
<=>
$x² + (16 - 8x +x²)  = QM²$
<=>
$QM = \sqrt{2x² - 8x + 16}$
<=>
$QM = 2x + 2\sqrt{2}x + 4$


dans le triangle $MBN$

$MB² + BN² = MN² $
<=>
$(4m - x)² + (x)² = MN²$
<=>
$16m² - 8mx + 2x² = MN²$
<=>
$MN  = \sqrt{2x² + 16m² -8mx} = \sqrt{2x + 4m - 2\sqrt{2}mx}$


je voudrais calculer l'aire mais yé ouné drôle dé multiplication

Dernière modification par leo0 (01-10-2018 15:27:10)

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#2 01-10-2018 16:59:20

yoshi
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Re : DM géométrie

Re,

Pfffou ! Qu'est ce que tu nous fait là ???
Quelle faute !
[tex]f(x) = aire  (ABCD) - 2 \times aire  triangle ( QAM) + 2 \times aire  triangle (MBN)[/tex]  Faute de signe ou oubli de parenthèses (au choix..) !
Et c'est quoi cette horreur : [tex]\frac{(4x\times -x^2)}{2}[/tex] ?

Et pourquoi tu t'embêtes à utiliser des triangles ?
Dis tout de suite que 2 triangles rectangles = 1 rectangle, c'est plus simple...
[tex]Aire_{ABCD}=16m[/tex] D'accord .

$AM=x$, $Dq=x$ donc $AQ=4-x$
Aire rectangle de côtés [AM] et AQ : $x(4-x)$

$MB= AB-AM = 4m-x$ et $BN=x$
Aire rectangle de côtés [MB] et BN : $x(4m-x)$

[tex]Aire_{MNPQ}=f(x)=16m -x(4-x)-x(4m-x)[/tex]
[tex]f(x)=16m - 4x+x^2-4mx+x^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]f(x)=2x^2 - 4mx-4x+16m[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]f(x)=2x^2 - (4m+4)x+16m[/tex]
Et moi, j'ai été formé à écrire ça, comme ça :
[tex]f(x)=2x^2 - 4(m+1)x+16m[/tex]

@+


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#3 01-10-2018 18:08:43

leo0
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Re : DM géométrie

Le prof a quand même parlé de l'aire du triangle $QAM$ 

aire $QAM  = \frac{L \times l}{2} = \frac{ x (4 - x)}{2} = \frac{4x - x²}{2}$

aire $MBN = \frac{L \times l}{2} = \frac{x (4m - x)}{2} = \frac{4mx - x²}{2} $

aire des 4 triangles = $\left[ 2 \times \frac{(4x - x²)}{2} + 2 \times \frac{4mx - x²}{2}\right] = \left(4x - x² + 4 mx - x² \right) = \left(-2x² + 4x + 4mx \right)$

puis  $f(x) = 16 m - \left(-2x² + 4x + 4mx \right)  = 16m + 2x² - 4x - 4mx  = 16 m + 2x² - 4x (m + 1)$



ce n'est pas demandé, mais au départ, j'ai essayé de calculer $aire_{MNPQ} $ en appliquant directement $MN \times QM$

dans le triangle $QAM$ j'ai trouvé $QM² = 2x² -8x + 16 $ et $MN² = 2x² +16m² - 8mx$
puis j'ai pris les racines pour avoir les longueurs mais en multipliant j'arrive à un calcul drôlement long

Dernière modification par leo0 (01-10-2018 18:19:26)

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#4 01-10-2018 18:39:18

yoshi
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Re : DM géométrie

Re,

Le prof a quand même parlé de l'aire du triangle QAM

Wé... comme ça, tu peux écrire une division par 2, puis écrire la multiplication par 2 pour ne pas t'en servir et préciser qye multiplier par 2 et diviser par 2, ça se simplifie...

Un peu comme moi, quand j'étais jeune, j'avais été face à une situation ou un événement se produisait 60 fois par jour, j'avais calculé 60 x 24 = 1440 et 1440/60 = 24  et là je métais dit : ah, bin, c'est malin, tiens !...

Donc parce que ton prof (pas l'énoncé !) parle de triangle , tu te sens obliger d'utiliser les triangles ? La foi, tu fais comme tu veux, hein ! Ça ne m'empêchera pas de dormir...
Vois-tu, quand j'étais lycéen, chaque fois que c'était possible, je tâchais de passer à travers les gouttes ! Me pomper dessus était risqué, je n'étais pas toujours très simple mais original, alors c'était se dénoncer de suite...
Avec le temps, j'ai appris à corriger mes premiers jets vers plus de simplicité...

Je vois que tu as corrigé tes sottises...
Alors, un point de détail :
Dans cette équation $x$ est l'inconnue et $m$ un paramètre.
Même si d'habitude on écrit $x(x+1)$ et non $(x+1)x$, dans le cas précis de ce type d'équation, on a l'habitude d'écrire $(m+1)x$, c'est pourquoi j'ai présenté la fonction ainsi : $2x^2-4(m+1)x+16m$.
D'ailleurs ton prof aussi, sauf qu'il n'a pas mis le 4 en facteur...

Mais je te rassure : rien de fondamental...

@+


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#5 01-10-2018 18:43:56

leo0
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Re : DM géométrie

salut
moi, j'ai jamais pompé, cela ne m'est jamais venu à l'idée
(ma mère est prof d'histoire géo, elle en prend tous les jours en train de pomper)

et utiliser deux fois le théorème de Phytagore pour avoir la longueur et la largeur
tu en penses quoi ?
j'ai essayé mais j'arrive à un calcul long, c'est normal ?

Dernière modification par leo0 (01-10-2018 18:58:23)

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#6 01-10-2018 19:38:07

yoshi
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Re : DM géométrie

Re,

Mon jeune voisin il y a longtemps avait utilisé la technique du bâton de colle : un enlève le colle et on y dispose une feuille roulée en cylindre et en tournant le bouchon on fait monter me papier et on lit ce qu'il y a dessus...
Sa pros, lors d'un contrôle voit le bâton de colle sur la table et lui emprunte pour coller qq ch...
Il passait déjà par toutes les couleurs, quand sa prof s'est ravisée le lui a rendu en disant : bah, non je te le rends, je collerai plus tard...
Puis il a ajouté ; j'ai plus jamais essayé,, j'ai eu bien trop peur...
Celui qui se fait piquer lors d'un exam, ça lui coûte très cher...
Et le faire lors des contrôles, c'est une mauvaise solution en plus du risque, parce qu'à l'exam, il y aura obligation de recommencer (rien foutu de toute l'année !) et là les chances de se faire prendre sont supérieures à 99 %%...

J'ai regardé de plus près ta méthode avec le th de Pythagore...
Tu calcules l'hypoténuse, donc tu as aussi besoin de la hauteur relative à cette hypoténuse.
Pour ça, quelques formules avec ABC rectangle en A et AH hauteur :
AB² = BH * BC
AC² = CH * CB
AH * BC = AB * AC (ça ce serait ridicule, pioisque AB*AC  c'est déjà le double de l'aire du triangle)
la formule de Heron d'Alexandrie qui est prévue pour un triangle quelconque
dp=(AB+AC+BC)/2 --> [tex]Aire =\sqrt{dp(dp-AB)(dp-AC)(dp-BC)}[/tex]

Tout ça pour dire : ça t'entraîne trop loin alors qu'utiliser les de côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle est si rapide : très peu de calculs, ici pas de racines carrées... Que du bonheur !
Pythagore (et non Phytagore) ça t'entraîne trop loin te donne des calculs atroces...
Oh, on y arriverait !
Mais il faudrait beaucoup de rigueur, une excellente maîtrise du calcul littéral... Mais quelle perte de temps et d'énergie, quelle prise de risques ! Pas rentable !
Je disais à mes zouaves  : pourquoi chercher les baffes  ? Elles arrivent bien assez vite toutes seules !

Je résume : très mauvaise stratégie !

@+


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#7 01-10-2018 19:47:33

leo0
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Re : DM géométrie

Pythagore ne va pas être content s'il voit que j'ai mal écrit son nom...

Dernière modification par leo0 (01-10-2018 19:47:53)

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