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#1 23-09-2018 17:13:52

Leo12
Invité

Probleme 1ereS

Bonjour je bloque sur un exercice de dm :
ABCD est un rectangle tel que AB = 8 et AD =4
M est un point du segment AD
on construit les points N € AB , P € BC ,Q € CD tels que DM=AN=BP=CQ
Ou placer le point M pour que l'aire du quadrilatère MNPQ soit minimale
Voilà si vous pouviez juste me donner une piste parce que je lai aucune idées , merci

#2 23-09-2018 18:51:57

yoshi
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Re : Probleme 1ereS

Bonsoir,

Je placerais le rectangle dans un repère orthonormé avec A en O, B sur l'axe des x, D sur la parallèle, passant par C, à l'axe des ordonnées et D sur l'axe des ordonnées.
Je placerais ensuite M sur [AD] et je noterais [tex]AM=x[/tex].
Ensuite, terminer la construction...
Cherche alors les coordonnées de M, N,P, Q en fonction de $x$
Trace ton rectangle ABCD et ton parallélogramme MNPQ, dont tu hachures l'intérieur.
Maintenant tu dois voir un moyen simple de calculer l'aire f(x) de MNPQ...

Et tu n'auras aucun mal à trouver le minimum...

(Tu devrais faire une figure avec Geogebra)

@+


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#3 24-09-2018 20:28:08

yoshi
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Re : Probleme 1ereS

RE,

Ça ne te convient pas ? Pourquoi ?

@+


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#4 26-09-2018 14:21:50

Leo12
Invité

Re : Probleme 1ereS

J'avais compris comment faire le shema mais je ne comprend pas comment calculer x , je sais que x =md et j'ai trouver une fonction polynôme de degrés 2 pour calculer lair du triangle MDQ mais je ne comprend pas comment trouver MD

#5 26-09-2018 14:35:46

Leo12
Invité

Re : Probleme 1ereS

Sachant que la fonction de ľaire du traingle DMQ est : -0,5(x-4)+8

#6 26-09-2018 14:37:38

Leo12
Invité

Re : Probleme 1ereS

Euh -0,5 (x-4 ) au carré +8

#7 26-09-2018 15:43:32

Leo12
Invité

Re : Probleme 1ereS

Oui C'est bien ce que j'ai fait pour trouver la fonction de laire mais comment trouver x

#8 26-09-2018 15:50:04

yoshi
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Re : Probleme 1ereS

Salut,

Curieux...
[tex]M \in [AD][/tex]  et  $AM=x$ donc $MD=AD-AM=4-x$...
180926050019324478.png
Quant à ta formule, sous réserve que tu approuves mon dessin, je je suis pas d'accord.
L'aire ABCD vaut 32.
Les 2 triangles rectangles MDQ et NPB sont égaux et constituent un rectangle en superposant les hypoténuses...
Les 2 triangles rectangles MAN et QCP sont égaux et constituent un rectangle en superposant les hypoténuses...
Depuis quand dans l'aire d'un rectangle figure le coefficient 1/2 ?

Je vais relire encore ton énoncé...

Après relecture, RAS...

@+

Dernière modification par yoshi (26-09-2018 15:54:05)


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#9 26-09-2018 15:57:06

Leo12
Invité

Re : Probleme 1ereS

Oui mais si l'on mais laire du triangle rectangle MDQ sous forme connonique j'arrive à cette formule
Sachant que MD=x et DQ= 8-x

#10 26-09-2018 16:06:08

yoshi
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Re : Probleme 1ereS

Bonjour,

Les côtés de l'angle droit du triangle rectangle MDQ valent $4+x$ et $4-x$
Ceux du triangle QCP $4-x$ et $x$.

L'aire MNPQ est [tex]f(x)=32 -[(4-x)(4+x)+x(4-x)]=32-(16-x^2+4x-x^2)=2x^2-4x+16[/tex]
D'accord ou pas ?


[tex]CQ = DM= 4-x[/tex]  donc [tex]DQ=8-(4-x)=4+x[/tex]

@+


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#11 26-09-2018 16:14:20

Leo12
Invité

Re : Probleme 1ereS

Je ne comprend pas pourquoi un des côtes est égale à 4+x , et ques qui correspond au calcul entre crochets ?

#12 26-09-2018 16:17:52

Leo12
Invité

Re : Probleme 1ereS

Ah oui d'accord mais quel est le calcule entre crochets ?

#13 26-09-2018 16:23:53

Leo12
Invité

Re : Probleme 1ereS

Mais 4-x = am

#14 26-09-2018 16:33:54

yoshi
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Re : Probleme 1ereS

IRe,

L'aire du triangle rectangle MDQ c'est 1/2 MD * MQ, mais il y a deux triangles identiques qui constituent un rectangle dont l'aire est (4-x)*DQ.
Les points D, Q, C se suivent dans cet ordre...
On a donc [tex]DQ= DC-CQ = 8-(4-x) = 4+x[/tex]
Mon dessin a été fait avec x = 1.5. Tu peux donc vérifier...
L'aire MNPQ est calculée comme la différence entre l'aire ABCD et les 4 aires blanches qui constituent deux rectangles
- l'un de largeur MD ($4-x$)et de longueur DQ ($4+x$)
- l'autre de largeur AM ($x$) et de longueur AN ($4-x$).
Le total des aires blanches est donc $(4-x)(4+x)+(4-x)$ Ce total est entre crochets...

Je vais encore retourner lire l'énoncé pour vérifier de nouveau que j'ai bien lu correctement l'énoncé et que j'ai bien placé les points...

Parce que tu me fais douter...


Post #2 j'ai écrit :

Je placerais ensuite M sur [AD] et je noterais AM=x.

Il est vrai que ce n'est pas précisé dans l'énoncé, ce qui me paraît inhabituel...
N'aurais-tu pas oublié cette précision .
Qu'as-tu choisi pour $x$, AM ou DM ?

Je vais refaire les calculs avec $DM = x$ au cas où...

@+

Dernière modification par yoshi (26-09-2018 16:39:53)


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#15 26-09-2018 16:51:51

yoshi
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Re : Probleme 1ereS

RE,

En prenant [tex]MD = x[/tex]
Je trouve $f(x)=2x^2-12x+32=2(x^2-12x+16)$

Et j'obtiens un minimum pour la même position de M que ci-dessus...

Dans le cas DM=x comme dans le précédent, la forme canonique se présente sous la forme $f(x)=2[(x-\alpha)+\beta]$
avec $\alpha$ et $beta$ positifs...

Comment varie $f(x)$ ?
$\beta$ étant positif et le carré $(x-\alpha)^2$ aussi (mais lui varie)
La variation de valeur de f(x) dépendra donc de celle de $(x-\alpha)^2$ :
Lorsque la valeur de  $(x-\alpha)^2$ sera minimale alors celle de $f(x)$ le sera aussi...
Donc la question devient donc :
pour quelle valeur de $x$  la valeur de  $(x-\alpha)^2$ est-elle minimale ? =



@+

Dernière modification par yoshi (26-09-2018 17:08:26)


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#16 26-09-2018 17:18:37

Leo12
Invité

Re : Probleme 1ereS

Jai choisis AM du coup Mais je ne trouve pas la même forme

#17 26-09-2018 17:22:21

Leo12
Invité

Re : Probleme 1ereS

Une fois 32 - ( -2x carré +4x + 16 )

#18 26-09-2018 17:32:58

yoshi
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Re : Probleme 1ereS

Salut,

OK, C'est bon...
Oui, les deux fonctions obtenues avec $AM=x$ ou $DM=x$ sont différentes, c'est normal, l'une te donnera la valeur de AM, l'autre celle de DM...
Donc avec $AM=x$, on a $f(x)=2x^2-4x+16=2(x^2-2x+8)$
Forme canonique ?
Relis les explications du post #15 pour trouver $x$...

@+


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#19 26-09-2018 17:34:56

Leo12
Invité

Re : Probleme 1ereS

Oui la forme canonique je sais faire maos ou va le -32 ?

#20 26-09-2018 17:46:00

yoshi
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Re : Probleme 1ereS

Re,

Je ne comprends pas...
C'est là que tu coinces : $32 -(-2x^2+4x+16)$ ?
Bin, c'est $  32 +2x^2-4x-16 = 2x^2-4x+16 =2(x^2-2x+8)$
Donne ta forme canonique...

@+


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#21 26-09-2018 18:47:31

Leo12
Invité

Re : Probleme 1ereS

Oui j'ai trouvé la forme canonique qui est de 2(x-1)carré + 14
Jai donc lair minimale mais pas ou placer le point M ?

#22 26-09-2018 18:48:48

Leo12
Invité

Re : Probleme 1ereS

Ah si le minimum est donc 14 cm2 atteint pour AM = 1 ?

C'est juste !

Et avec $DM=x$ on trouvait $x=3$

Et tu vois bien ici que DM + AM =4, le point M est bien au même endroit dans les 2 cas...

@+

#23 26-09-2018 19:14:30

Leo12
Invité

Re : Probleme 1ereS

Oui , merci beaucoup en tout cas

#24 26-09-2018 19:47:20

yoshi
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Re : Probleme 1ereS

Re,

Ce fut un plaisir...

@+


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