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#1 19-09-2018 17:47:57

taillieu
Invité

exercice suites ts 1

Bonjour voici mon énoncé : une observation faite sur la fréquentation d'un stade de football a permis de constater pour chaque année un taux de réabonnement de 80 % ainsi que l'apparition de 4000 nouveaux abonnés on note an le nombre d'abonnés à la fin de la 1e année et on précise que a0=7000
1) expliquer pourquoi pour tout entier naturel n on a an+1= 0,8an +4000
2) démontrer par récurrence que an est majorée par 20 000, c'est-à-dire que pour tout entier n,
an < 20 000
3)a) montrer que an+1 - an = 0,2(20 000 - an)
b) en déduire que la suite est croissante
4)a) compléter l'algorithme(je l'ai complété) ci-dessous ligne 5 6 7 8 10 12 afin de déterminer après combien d'années le nombre d'abonnés dépassera 16 000
1 VARIABLES
2 n est du type nombre
3 a est du type nombre
4 début algorithme
5 a prend la valeur 7000
6 n prend la valeur 0
7 tant que( a≤16000  )
8 début tant que
9 n prend la valeur n+1
10 a prend la valeur 0,8a+4000
11 fin tant que
12 afficher n
13 fin algorithme
b) programmer l'algorithme sur une calculatrice ou un logiciel et répondre à la question précédente
5) soit Un la suite définie pour tout nombre entier naturel n par Un = 20 000 - an
a) montrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme
b) exprimer Un en fonction de n puis an en fonction de n
c) déterminer la limite de la suite l'interpréter
VOIci mes réponses :
J'ai déjà effectué et réussi les 4 premières questions et la 5)a) mais j'ai cependant des difficultés pour le reste
alors pour la b je n'arrive pas a exprimer Un en fonction de n mais je sais que lorsque j'y serais parvenu je pourrais trouver An en fonction de n
et enfin la c) je ne peux pas la faire il faut la réponse précédente

#2 20-09-2018 11:27:21

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 946

Re : exercice suites ts 1

Bonjour,

On a [tex]U_n=20000-a_n[/tex] donc [tex]a_{n+1}=20000-U_{n+1}[/tex]
Idem : [tex]a_n=20000-U_n[/tex]
D'où : $a_{n+1}-a_n=20000-U_{n+1}-(20000-U_n)=-U_{n+1}+U_n$

Or,  il a été dit que [tex]a_{n+1}-a_n=0,2(20 000 - an)[/tex] d'où [tex]a_{n+1}-a_n=0,2(20 000 - 2000+U_n)=0,2U_n[/tex]

En conclusion : [tex]a_{n+1}-a_n=0,2(20 000 - 2000+U_n)=0,2U_n=-U_{n+1}+U_n[/tex]
Et il vient
[tex]U_{n+1}=0,8U_n[/tex]
P'tet qu'il y a plus simple pour y arriver, je vais voir ça...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#3 20-09-2018 12:01:32

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 946

Re : exercice suites ts 1

Re,

Un poil plus clair ;
[tex]U_{n+1}-U_n=20000-a_{n+1}-20000+a_n=-(a_{n+1}-a_n)[/tex]
Or
[tex]a_{n+1}-a_n=0,2(20000-a_n)[/tex]
Donc
[tex]U_{n+1}-U_n=-(a_{n+1}-a_n)=-0,2(20000-a_n)[/tex]
[tex]U_n=20000-a_n\;\Leftrightarrow\;a_n=20000-U_n[/tex]
Que je remplace :
[tex]U_{n+1}-U_n=-(a_{n+1}-a_n)=-0,2(20000-20000+U_n)=-0,2U_n[/tex]
Enfin
[tex]U_{n+1}=-0,2U_n+U_n[/tex]
[tex]U_{n+1}=0,8U_n[/tex]
banale suite géométrique décroissante
Avec [tex] U_0=20000-a_0 = 13000[/tex]

@+


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#4 20-09-2018 13:04:38

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : exercice suites ts 1

Salut,

oui, il y a plus rapide quand on connait le traitement des suites arithmécito géométriques, ici par exemple.

L'astuce consiste à chercher le point fixe $L$ de la suite $u_n=q\times u_{n-1}+b $ avec $q \ne 1$.

Ce point fixe vérifie $L=q\times L+b$ et ensuite on construit la suite géométrique $ v_n = (u_n-L) = q\times v_{n-1}= q^n\times v_0$.
Puis, on revient à l'expression de la forme initiale $u_n$.

Faut un peu avoir préparé, sinon on galère longtemps.
Un grand classique en prépa épice.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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