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#1 08-04-2014 23:48:00

Boody
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[Enigme] 5 pirates et 1000 pièces d'or

Bonjour à tous,

voici une petite énigme logique qui peut éventuellement prêter à débat et discussion
(pour changer des pbs d'échecs qui n'ont pas l'air de passionner plus de 3 personnes)

--------------------------------------------------------------------------------------------
5 pirates et 1000 pièces d'or paru dans Scientific American en mai 1999

5 pirates appelés 1, 2, 3, 4 et 5 ont un trésor de 1000 pièces d'or à partager.
le principe du partage est le suivant:
un des pirates fait une proposition de partage.
Il y a vote de tous les pirates.
- s'il y a une majorité (stricte) de réponses favorables la proposition est acceptée.
- sinon le pirate est tué et passé par dessus bord, et on recommence avec le reste des pirates.

Les pirates sont d'abord cupides et ensuite sanguinaires (*).
Et bien sûr les 5 pirates raisonnent de façon extrêmement logique.

5 propose en premier, puis le cas échéant 4 puis 3 puis 2 puis 1.
Le problème a t-il une solution, si oui laquelle ?
Quelle est la proposition de 5 ?
5 peut-il faire une proposition qui lui garantisse la vie ?
Si oui,  laquelle ? Et Pourquoi ?
Si non, que propose 4 ? etc...

(*)Précision:
les pirates ont les priorités suivantes (de la plus importante à la moins importante):
1/ rester en vie
2/ gagner le maximum de brouzoufs
3/ tuer le maximum de pirates
--------------------------------------------------------------------------------------------

Voilà !
à vos questions, suggestions etc.

Bon courage.

:)


“il n’existe que 10 sortes de personnes, celles qui comprennent le binaire et les autres.”
Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît... (just in case : ) )

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#2 09-04-2014 00:39:39

tibo
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Re : [Enigme] 5 pirates et 1000 pièces d'or

Salut,

une idée

Raisonnons à l'envers.
1 a tout intérêt à être le seul restant pour tout garder. Donc s'il ne reste que 2 pirates, il votera contre pour tuer 2 (majorité stricte oblige).
Donc 2 a tout intérêt à ce que 3 reste en vie et acceptera sa proposition quel qu’elle soit, même s'il garde tout pour lui.
Donc 3 voudrait tuer 4 pour rafler le butin.
Mais 1 et 2 étant d'intelligents pirates ayant fait le raisonnement précédent, il suffit que 4 leur donne une pièce chacun pour qu'ils y gagnent à accepter la proposition de 4.
De cette manière, on voit que le seul qui risque de mourir (à cette étape du raisonnement) est 5.

Reste à savoir si 5 a une stratégie pour rester en vie.
Peut-être en donnant 2 pièces chacun à 1 et 2. Mais 4 pourrait surenchérir en leur promettant 3 pièces chacun.
Ou alors 5 pourrait assurer le coup en proposant 500 chacun à 1 et 2. Mais 4 pourrait promettre la même somme, et 5 irait nourrir les requins par pur esprit sanguinaire des ses camarades.
On peut aussi se poser la question de l’honnêteté de 4 (On peut tout à fait être un honnête meurtrier, mais honnête pirate, j'en doute.). En effet 1 et 2 peuvent douter des promesses de 4...
Peut-être


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#3 09-04-2014 01:53:05

amatheur
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Re : [Enigme] 5 pirates et 1000 pièces d'or

SALUT

Texte caché

  LE 5 PROPOSERA UNE PIECE A 3 ET DEUX PIECES SOIT A 1 SOIT A 2 ET GARDERA 297 PIECES

PS: une énigme  très voisine à déjà été posée il y a plus de  deux ans de cela je crois.
@+


J'aimais les fées et les princesses,
Qu'on me disait n'exister pas..

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#4 09-04-2014 08:21:22

Boody
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Re : [Enigme] 5 pirates et 1000 pièces d'or

Bonjour,

@tibo :
Ta solution est effectivement OK jusqu'à 4.
Mais pourquoi se poser des questions pour la propale de 5 que tu ne te posais pas pour celle de 4 (3 aurait pu surencherir aussi).
En fait comme tu le penses les surenchères ne servent à rien vu les règles du jeu - elles ne seront jamais respectées une fois que les opposants auront disparu.

@amatheur
bravo c'est à peu près ça (il faut proposer à 2 pas à 1).

désolé pour le doublon - je n'avais pas vérifié s'il elle avait déjà été posée.


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#5 09-04-2014 14:38:44

amatheur
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Re : [Enigme] 5 pirates et 1000 pièces d'or

re
@ boody: pourquoi? 1 n'aura jamais une meilleure offre ni de 4  et encore moins de 3.

Dernière modification par amatheur (09-04-2014 22:57:46)


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Qu'on me disait n'exister pas..

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#6 09-04-2014 21:14:56

Boody
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Re : [Enigme] 5 pirates et 1000 pièces d'or

Bonjour,

[@amatheur]

parce que en fait heu...
... tu as parfaitement raison. :)

Sorry


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#7 09-04-2014 21:37:40

Boody
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Re : [Enigme] 5 pirates et 1000 pièces d'or

dans le détail ca donne

indice (comme tibo l'a dit)

il faut effectivement raisonner à rebours.
quand il reste 1 pirate
quand il en reste 2
...

raisonnement

quand il reste n pirates
1 : pas de débat
2 : 2 meurt (quelque soit la proposition, 1 vote contre et le tue pour tout récupérer)
3 : quelque soit la proposition de 3, 2 est obligé de l’accepter sinon il meurt
4 : 4 a besoin de 2 voix avec la sienne - (3 votera toujours contre)
5 : 5 a besoin de 2 voix avec la sienne - (il fait une meilleure proposition, à 2 et 3 ou à 1 et 3, que ne fera 4)

résultat

n : propose le partage pour 1 / … / n-1 / n
1 : 1000
2 : . /.
3 : 0 / 0 / 1000
4 : 1 / 1 / 0 / 998
5 : 0 / 2 / 1 / 0 / 997 ou 5 : 2 / 0 / 1 / 0 / 997


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#8 15-05-2014 19:17:05

freddy
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Re : [Enigme] 5 pirates et 1000 pièces d'or

Bonsoir,

Pour moi, comme déjà dit, la manière de présenter la solution n'est pas conforme à l'esprit du problème qui peut être résolu dans la pure logique de la théorie des jeux, c'est à dire dans un esprit où chacun sait que le résultat de sa décision est dépendant des décisions des autres et qu'il convient de trouver ensemble, avec ou sans concertation, une solution pérenne, on dira un équilibre stable.

En effet, dès l'énoncé du problème, on voit qu'il s’agit  d'une situation de jeu non coopératif. Non coopératif, car les joueurs sont très cupides et sanguinaires, alors que la coopération supposerait un esprit de partage. Cela étant, il suffirait de changer les règles du jeu pour en faire un jeu coopératif.

La règle du jeu est la suivante : une proposition de partage est acceptée si et seulement si la majorité stricte l’accepte (majorité incluant celui qui fait la proposition), sinon est éliminé celui qui a fait la proposition refusée et on redémarre avec le joueur suivant. 

On note 1, 2, 3, 4 et 5 les cinq joueurs par ordre de parole. Dans une version déjà publiée sur le site, c’était du plus vieux au plus jeune, le plus vieux étant bien entendu le chef .

On donne les règles de préférences individuelles suivantes :
La première règle est de dire que chacun préfère être vivant que mort ;
La seconde énonce que, si on est vivant,  avoir un est préférable à rien, deux préférable à un, …
La troisième énonce chacun vise à maximiser son résultat individuel qu'ils sont cruels;
La dernière consiste à soutenir qu’ils sont tous des êtres rationnels.

A partir de là, chacun réfléchit dans sa tête pour mettre au point un règle de décision en fonction de la proposition qui sera faite et de celui qui la fera.

PREMIERE CERTITUDE

Tout le monde est capable de déduire très vite qu’une stratégie consistant à refuser systématiquement chaque proposition conduira à la mort les 4 premiers et à faire gagner le numéro 5, qui s’accaparera tout le magot et qui, remarquons-le, ne court aucun danger mortel.

Donc les quatre premiers joueurs en déduisent que c’est une très mauvaise stratégie pour eux, que 5 sera a priori toujours opposé à toute proposition et qu’il ne servirait à rien de lui donner quoi que ce soit, a priori.

SECONDE CERTITUDE

1 sait aussi que s’il garde tout, les 3 autres ont intérêt à refuser et à l’éliminer.

Si 2 imagine pouvoir tout garder, alors il perdra la vie aussi.

TROISIEME CERTITUDE

Par contre, les 5 joueurs comprennent que 3 peut tout garder.

En effet, 4 ne peut être que de son côté car en cas de duel avec 5, 4 perdra tout et mourra.

Donc 3 proposera ( x, x, 1000, 0, 0) qui sera accepté.

Donc 2 doit formuler une meilleure proposition que ( x, x, 1000, 0, 0)

CONCLUSION

2 déduit que 4 est acquis à sa cause et doit donner le minimum à 3 ou 5, à savoir un lingot d’or.

Puisque 3 va passer à côté du pactole, il n’acceptera rien, tandis que 5, condamné a priori à ne rien avoir, ne peut qu’accepter ce minimum.

Donc 1 sait maintenant que si 2 prend la parole, il aura une solution acceptable, savoir (x, 999, 0, 0, 1).

Il lui faut trouver une meilleure proposition.

Cette proposition ne peut pas avoir l’accord de 2, puisqu'il perd tout. Elle doit donc convaincre deux des trois autres joueurs.

1 et 5 savent tous deux que si 5 contribue à éliminer 1- n'oublions pas qu'ils sont sanguinaires - , il n’aura au mieux qu’un lingot d’or. Il faut donc lui octroyer un lingot de plus pour le convaincre d’accepter.

Ensuite, il faut convaincre soit 3, soit 4 qui devrait facilement accepter une proposition plus intéressante que rien, savoir un lingot d’or.

Donc la solution est bien soit (997, 0, 0, 1, 2) ou soit (997, 0, 1, 0, 2).
______
EDIT : mise en forme plus lisible du raisonnement le 17.06.2014 à 08h02

Dernière modification par freddy (19-05-2014 15:33:51)


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#9 16-05-2014 01:59:22

Boody
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Re : [Enigme] 5 pirates et 1000 pièces d'or

Salut,

@freddy
merci pour cette longue réponse qui méritera une relecture (de ma part).

Je note pour l'instant que :

- je ne suis pas un spécialiste de Pareto, ni de Nash mais je ne vois pas en quoi ma solution n'est pas dans l'esprit du problème

- si c'est le raisonnement à rebours qui pose problème, j'ai l'impression que ta solution sous-entent, l'air de rien, un raisonnement à rebours.
La mienne est plus concise mais exprime globalement la même chose, non ?

- (sans vouloir paraitre rasoir) tes 2nd et 3eme règles de préférences me semblent redondantes (en parler avec Occam) :)

- nous sommes d'accord sur une des solutions mais pas sur l'autre (il faut que je vois cela)

- tu dis que 5 (dans ta notation) "sera a priori toujours opposé à toute proposition et qu’il ne servirait à rien de lui donner quoi que ce soit" mais tu lui propose quand même 2 lingots
a suivre ...

Bon sur ce, bonne nuit à tous.


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#10 16-05-2014 05:54:57

freddy
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Re : [Enigme] 5 pirates et 1000 pièces d'or

Re,

je donne le fil du raisonnement que suit chacun des 5 joueurs, car je trouve que la solution du raisonnement à rebours tombe trop du ciel. Oui pour les règles deux et trois, dans la version que je connaissais, il était dit qu'ils étaient très cupides, et sanguinaires. Quant à 5, oui, au début, on peut se dire qu'il n'aura rien, sauf qu'à la fin du raisonnement, il est doté car il devient une des clés de la solution comme je (me) l'expllque :-)

Je ne remets pas du tout en cause ton problème ni sa solution. Il se trouve que Fred l'avait posé il y plusieurs mois ici, que je l'avais retrouvé sur un hors série de "Tangente" et qu'il n'a cessé depuis lors de me faire réfléchir, car je voulais mettre en cohérence le résultat et la manière d'y arriver que je pressentais.

En particulier, dans "Tangente", il y a deux règles de majorité (qui est : 50 % ou plus des votants, tandis que toi, tu dis strictement plus de 50 %, ce qui me convient) : soit celui qui parlait ne faisait pas partie des votants, soit il en faisait partie. Et les résultats diffèrent, bien entendu. Quant aux structures de préférences individuelles, il est dit qu'ils sont rationnels et non suicidaires, et bien entendu doté d'un QI particulièrement élevé.

Up to you pour en débattre.

Dernière modification par freddy (16-05-2014 06:07:23)


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#11 16-05-2014 12:19:55

freddy
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Re : [Enigme] 5 pirates et 1000 pièces d'or

Re,

je te propose de résoudre le même problème en modifiant légèrement la règle du jeu.

1 - la majorité requise est égale à 50 % ou plus des autres joueurs survivants  (donc non compris celui qui a la parole) ;

2 - la majorité requise est égale à 50 % ou plus des joueurs survivants (donc y compris celui qui a la parole).

Ce n'est pas un challenge, c'est pour que tu vois toutes les branches possibles de ce très intéressant problème.

En particulier, la solution de 2 est différente de celle de 1 !

Bon courage !

Dernière modification par freddy (19-05-2014 15:49:06)


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#12 22-05-2014 15:47:31

freddy
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Re : [Enigme] 5 pirates et 1000 pièces d'or

Salut,

le cas n° 1 revient à jouer avec strictement plus de 50 % en comptant celui qui parle. La solution est celle visée supra.

Le cas 2 est un peu différent, car là, si 4 parle, alors il garde tout car (x, x, x, 1000, 0) ne peut être qu'accepté par 4, ce qui suffit.

Partant, la proposition acceptée de 3 devient (x, x, 999, 0, 1) puisque 5 a mieux que rien, ce qui lui va bien.

Dès lors, 2 propose (x, 999, 0, 0, 1) qui est acceptée car 2 joueurs sur 4 sont d'accord.

Finalement, 1 doit trouver deux accords, ce qui revient à offrir 1 lingot à un des deux joueurs qui n'a rien.

Solutions :  soit (998, 0, 1, 0, 1) ou bien (998, 0, 0, 1, 1).


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#13 23-05-2014 21:05:13

Boody
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Re : [Enigme] 5 pirates et 1000 pièces d'or

Salut freddy et les autres,

je n'avais pas répondu mais quand même commencé à chercher.

J'avais trouvé ce qui suit - mais toujours en raisonnant à rebours :

désolé mais je numérote en fonction des joueurs restants

Cas n°1 majorité de 50% ou plus des autres joueurs (celui qui propose ne vote pas)
Reste x joueurs  (X a donc besoin de (x-1)/2 voix / nb de votant pour que sa proposition soit acceptée) ce qui entraîne son vote de la propale de X+1 voir de X+n :

1 : a besoin de 0/0 voix et propose 1000 / / / / => il refusera toute propale de 2
2 : a besoin de 1/1 voix et ... meurt quelque soit sa proposition => il est obligé d'accepter la proposition de 3
3 : a besoin de 1/2 voix et propose 0 / 0 / 1000 / / => il refusera toute propale précédente (elles sont forcément moins intéressante)
4 : a besoin de 2/3 voix et propose 1 / 1 / 0 / 998 / => il refusera toute propale moins intéressante
5 : a besoin de 2/4 voix et propose 2 / 1 / 0 / 0 / 997 ou 2 / 0 / 1 / 0 / 997

Cas n°2 majorité de 50% ou plus - tous les joueurs restants votent

1 : a besoin de 0/0 voix et propose 1000 / / / / => il ne peut pas refuser la propale de 2 et il acceptera toute meilleur propale que 0 pour lui
2 : a besoin de 1/2 voix et propose 0 / 1000 / / / => il refusera toute propale de 3 mais acceptera toute meilleure propale de 4 ou 5
3 : a besoin de 2/3 voix et propose 1 / 0 / 999 / / => il refusera toute propale de 4 mais mais acceptera toute meilleure propale de 5
4 : a besoin de 2/4 voix et propose 2 / 0 / 0 / 998 / => il refusera toute propale de 5
5 : a besoin de 3/5 voix et propose 3 / 1 / 0 / 0 / 996 ou 3 / 0 / 1 / 0 / 996

Je vois qu'on est d'accord sur le cas n°1 mais pas sur le cas n°2 (il voit que je regarde ou le bât blesse).

A suivre ...

Dernière modification par Boody (24-05-2014 00:00:31)


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#14 24-05-2014 07:08:06

freddy
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Re : [Enigme] 5 pirates et 1000 pièces d'or

Re,

pourquoi tu en donnes tant à 1, il n'en a pas besoin !


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#15 24-05-2014 17:39:42

Boody
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Re : [Enigme] 5 pirates et 1000 pièces d'or

Bonjour,

c'est dans l'énoncé initial (celui que j'ai proposé mais avec ta règle de majorité);

les pirates ont les priorités suivantes (de la plus importante à la moins importante):
1/ rester en vie
2/ gagner le maximum de brouzoufs
3/ tuer le maximum de pirates

entre "gagner x" et "gagner x en tuant" il préfère la solution sanguinaire.

je ne connais pas l'énoncé exact de Tangente, mais si on supprime la contrainte "sanguinaire" alors 1 pourrait effectivement accepter la propale de 5 autant que la celle de 4 (avec ta solution) mais il peut aussi attendre celle de 3 - la solution est indéterminée.

Dernière modification par Boody (24-05-2014 21:41:41)


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#16 26-05-2014 19:16:23

freddy
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Re : [Enigme] 5 pirates et 1000 pièces d'or

Salut,

je corrige le cas 2, car il n'y a qu'une seule solution.

Si 4 parle, alors il garde tout car (x, x, x, 1000, 0) est accepté par lui-même, ce qui suffit.

La proposition acceptée de 3 devient (x, x, 999, 0, 1) puisque 5 a mieux que rien, ce qui lui va bien.

Dès lors, 2 proposerait (x, 999, 0, 1, 0) qui sera acceptée par 2 et 4.
En effet, donner uniquement un lingot à 5 va le pousser (il est cruel) à refuser pour voir 2 mourir ... Par contre, 4 acceptera un lingot, puisqu'il part de rien et qu'il est cupide.

Finalement, 1 doit trouver deux accords, ce qui revient à offrir 1 lingot à deux joueurs qui n'ont rien savoir 3 et 5 qui ne peuvent qu'accepter (ils sont cupides).

Donc l'unique solution est (998, 0, 1, 0, 1).

On voit bien dans ce cas-là comment alternent la cupidité et la cruauté.

Dernière modification par freddy (26-05-2014 21:16:48)


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#17 27-05-2014 01:21:34

Boody
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Re : [Enigme] 5 pirates et 1000 pièces d'or

Salut,

ah oui tu as raison mon 4 est incorrect

Boody a écrit :

...
Cas n°2 majorité de 50% ou plus - tous les joueurs restants votent

1 : a besoin de 0/0 voix et propose 1000 / / / / => il ne peut pas refuser la propale de 2 et il acceptera toute meilleur propale que 0 pour lui
2 : a besoin de 1/2 voix et propose 0 / 1000 / / / => il refusera toute propale de 3 mais acceptera toute meilleure propale de 4 ou 5
3 : a besoin de 2/3 voix et propose 1 / 0 / 999 / / => il refusera toute propale de 4 mais mais acceptera toute meilleure propale de 5
4 : a besoin de 2/4 voix et propose 2 / 0 / 0 / 998 / => il refusera toute propale de 5
5 : a besoin de 3/5 voix et propose 3 / 1 / 0 / 0 / 996 ou 3 / 0 / 1 / 0 / 996
...

ça correspond à ton 2 qui est correct.
2 proposerait (x, 999, 0, 1, 0)

donc avec ma numérotation et ta notation (plus claire) :
4 : a besoin de 2/4 voix et propose (0,1,0,999,x) => il refusera toute propale de 5
5 : a besoin de 3/5 voix et propose (1,0,1,0,998)  - on est d'accord donc.

Dernière modification par Boody (27-05-2014 01:41:31)


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#18 27-05-2014 01:40:02

Boody
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Re : [Enigme] 5 pirates et 1000 pièces d'or

Ce qui est amusant dans ce problème (outre la façon de formuler la solution à rebours ou non) c'est qu'on peut se demander pourquoi 3 des joueurs ne pourraient pas s'allier et convenir de rejeter la proposition du 1er à parler vu qu'il prend quasiment la totalité (998) pour lui.
Dans la vraie vie, plutôt que de gagner 0 ou 1 ils pourraient très bien se partager beaucoup plus (1/3 chacun par exemple).

non ?

je pense que les contraintes imposées dans l'énoncé empêche toute alliance. Ces contraintes imposent au joueur qui parle de ne pas respecter sa parole et de prendre la plus grosse part du gâteau.


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#19 27-05-2014 09:45:47

freddy
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Re : [Enigme] 5 pirates et 1000 pièces d'or

Salut,

non, c'est l'essence même d'un jeu non coopératf : les gars ne se parlent pas (ils sont très individualistes) et n'ont pas envie de se parler (leur intérêt individuel prime le collectif - un peu comme au foot  :-) - c'est pourquoi le chef voudrait bien tout garder, et il garde presque tout d'ailleurs).

Ils réfléchissent dans leur tête à tous les schémas possibles pour obtenir le meilleur résultat (de leur point de vue) compte tenu des stratégies des autres (ils sont rationnels et très intelligents). Ils sont capables de trouver la bonne stratégie des autres, leur cupidité et leur cruauté font le reste, et la solution (on dira les stratégies d'équilibre du jeu non coopératif ) émerge toute seule.


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#20 15-09-2018 11:17:46

Dattier
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Re : [Enigme] 5 pirates et 1000 pièces d'or

Bonjour,

Pour 2 pirates : (0,1000)
pour 3 pirates, comme ce pirate sait quel serait le découpage si le sien est refusé il se sert de cette info pour acheté le vote du deuxième (en lui donnant strictement plus pour éviter le côté sanguinaire) : (999,1,0)
Pour 4 pirates idem : (997,0,2,1)
Pour 5 pirates idem et on élimine les votes les plus cher à acheté : (997,0,1,0,2)
Pour 6 pirates : (996,0,1,2,1,0)
Procédure on achéte avec une pièce les votes à 0, si cela est suffisant pour la majorité ok, sinon on achète les votes les moins cher en leurs ajoutant une pièce (pour éviter d'être tué)


Bonne journée.

Dernière modification par Dattier (16-09-2018 13:31:14)


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#21 16-09-2018 13:28:16

Dattier
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Re : [Enigme] 5 pirates et 1000 pièces d'or

Bonjour,

freddy a écrit :

Donc la solution est bien soit (997, 0, 0, 1, 2) ou soit (997, 0, 1, 0, 2).

Il me semble qu'il n'y a qu'une solution, en effet si le premier propose : (997,0,0,1,2)

Alors le quatrième refuserait car il pourrait avoir plus au tour suivant : (997,0,2,1)

Bonne journée.

Dernière modification par Dattier (16-09-2018 13:31:26)


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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