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#1 08-09-2018 15:32:44

yaya
Invité

Monter que) A inter (B\C) = (A inter B) \ (A inter C)

Bonjour,

Dans mon exercice de maths sup je dois monter de DEUX manières différentes que :
A∩(B\C) = (A∩B)\(A∩C)

Je ne vois pas du tout comment démarrer ne serait-ce que pour une seule manière, pour moi quand je fais le diagramme de Venn représentant cette situation, c'est évident, je ne vois pas comment le montrer, pouvez-vous me donner une piste s'il vous plait ?

Cordialement

#2 08-09-2018 18:46:51

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 015

Re : Monter que) A inter (B\C) = (A inter B) \ (A inter C)

Bonjour

  La première façon de le démontrer c'est par double inclusion. Tu commences par prendre un élément du premier ensemble et tu démontres qu'il est dans le second. Puis tu prends un élément du second et tu montres qu'il est dans le premier.
Je suis sûr qu'il y a au moins un exemple comme cela dans ton cours. Inspire toi de lui.

F

Hors ligne

#3 08-09-2018 20:45:36

yaya
Invité

Re : Monter que) A inter (B\C) = (A inter B) \ (A inter C)

Re, merci de m'avoir laissé une réponse:

Alors en cherchant un peu plus j'ai finit par essayé quelque chose en posant x élément de E
A∩B = {x appartient à E: x appartient à A et x appartient à B}
A∩C = {x appartient à E: x appartient à A et x appartient à B}
d'où :
(A∩B)\(A∩C) = {x appartient à E: x appartient à A et x appartient à B et x n'appartient pas à C}

Je ne sais pas (et je ne pense pas) si cela est suffisant pour dire par la suite que "donc : A∩(B\C) = (A∩B)\(A∩C)"
Ce exercice fait justement parti des exemples de mon cours que je dois chercher

#4 09-09-2018 13:47:52

D_john
Invité

Re : Monter que) A inter (B\C) = (A inter B) \ (A inter C)

Salut,

Si tu as vu les opérateurs logiques en cours ainsi que les formules associées, une autre méthode est de les utiliser, en commençant par :

[tex] X \setminus Y = X\cap\overline{Y} [/tex]

A+

#5 10-09-2018 22:12:17

yaya
Invité

Re : Monter que) A inter (B\C) = (A inter B) \ (A inter C)

Salut D_John, merci pour ta réponse, j'ai essayé quelque chose (c'est un début) et ça donne :

posons : X = A∩B et Y=A∩C

X\Y=X∩Y(barre)
implique : (A∩B)\(A∩C)=(A∩B)\(A∩C)(barre)

cependant je ne vois pas comment aller plus loin... est-ce déjà un bon début ?

#6 10-09-2018 22:42:00

D_john
Invité

Re : Monter que) A inter (B\C) = (A inter B) \ (A inter C)

Bonsoir,
... j'en déduis que tu n'as pas encore vu les relations utiles pour établir cette égalité.
Si tu fais un 'en-avant' dans ton cours tu vas trouver :
[tex] \overline{A \cap C} = \overline{A} \cup \overline{C} [/tex]
En clair, le complémentaire de l'intersection est égal à l'union des complémentaires.
Ensuite, tu dois utiliser la distributivité...
Désolé mais je n'ai pas souvenir d'autres méthodes que #1 et celle-ci.
Merci de transmettre la solution à l'occasion.

#7 11-09-2018 18:09:48

yaya
Invité

Re : Monter que) A inter (B\C) = (A inter B) \ (A inter C)

Hey, encore merci pour ta réponse D_John, et comme on a corrigé l'exercice, je me permet de partager la solution avec tout le monde:

ta méthode (@D_John) était effectivement la bonne il fallait faire:
(A∩B)\(A∩C)=(A∩B)∩(A∩C)(barre)
=(A∩B)∩(AbarreUCbarre)
=(A∩B∩A(barre))U(C(barre)∩A∩B)
Comme:
(A∩B∩A(barre)) = ensemble vide
alors:
=C(barre)∩A∩B
=A∩(B\C) CQFD.

La "deuxième méthode" supposée de l'énoncé était simplement de réécrire tout cela entre accolade (un peu comme j'avais essayé au tout début)

Merci encore à tout ceux qui m'ont aidé pour ce petit problème

#8 11-09-2018 22:29:42

D_john
Invité

Re : Monter que) A inter (B\C) = (A inter B) \ (A inter C)

Super ! et merci pour le retour yaya. J'espère que tu avais trouvé toi-même avant le corrigé.

PS : X(barre) en Latex c'est simplement \overline{X}

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