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#1 08-08-2018 09:50:48

Yoplait
Membre
Inscription : 08-08-2018
Messages : 3

Simplification d'une racine carré

Bonjour,

Je suis en train d'essayer de simplifier ce calcul : √(2-√3)-√(2+√3)
J'ai utilisé plusieurs méthodes mais j'arrive vraiment pas à la simplifier, je sais juste que le résultat final est supposé être -√2.

J'ai déjà réalisé ceci : √(2-√3)*√(2+√3) et (√(2-√3)-√(2+√3))²
Peut-être ça pourrait me faire avancer. Si quelqu'un pourrait me proposer des pistes car je sais vraiment pas comment la simplifier.
Merci de votre réponse

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#2 08-08-2018 10:46:31

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 423

Re : Simplification d'une racine carré

Bonjour,

[tex]\sqrt{2-\sqrt 3}-\sqrt{2+\sqrt 3}[/tex]
Quand on voit cette présentation, il faut se dire que 99 fois sur 100, c'est une astuce du type
[tex]\sqrt{(a-b\sqrt c)^2}-\sqrt{(a+b\sqrt c)^2})[/tex] avec a, b, c entiers

Ici, il y a une petite variante...
[tex](1-\sqrt 3)^2=4-2\sqrt 3=2\left({2-\sqrt 3}\right)[/tex]

Et à la suppression de la grande racine, il faudra ouvrir l’œil, s'pas...

Ce qui précède est-il suffisant pour toi ?

@+

Dernière modification par yoshi (08-08-2018 10:49:46)


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#3 08-08-2018 10:55:13

Yoplait
Membre
Inscription : 08-08-2018
Messages : 3

Re : Simplification d'une racine carré

Merci de votre réponse cependant même avec votre aide je vois toujours pas comment simplifier cela et arriver à -√2
Serait-il possible de m'aider d'avantage ?

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#4 08-08-2018 11:28:42

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 423

Re : Simplification d'une racine carré

Re,

Alors, on poursuit et on reprend...
[tex](1-\sqrt 3)^2=4-2\sqrt 3=2\left({2-\sqrt 3}\right)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]2-\sqrt 3 =\dfrac 1 2(1-\sqrt 3)^2[/tex]
Et donc :
[tex]2+\sqrt 3 =\dfrac 1 2(1+\sqrt 3)^2[/tex]

On remplace :
[tex]A=\sqrt{2-\sqrt 3}-\sqrt{2+\sqrt 3}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]A=\sqrt{\dfrac 1 2(1-\sqrt 3)^2}-\sqrt{\dfrac 1 2(1+\sqrt 3)^2}=\sqrt{\dfrac 1 2}\left[\sqrt{(1-\sqrt 3)^2}-\sqrt{(1+\sqrt 3)^2}\right]                                            [/tex]

Et maintenant, c'est mieux ? "Supprime" les grandes racines...

@+


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#5 08-08-2018 13:17:11

Yoplait
Membre
Inscription : 08-08-2018
Messages : 3

Re : Simplification d'une racine carré

Oui, merci beaucoup !

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#6 08-08-2018 13:49:16

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 423

Re : Simplification d'une racine carré

Salut,

As-tu fait attention que  :
[tex]\sqrt{(1-\sqrt 3)^2}=-1+\sqrt 3[/tex]  et non  [tex]1-\sqrt 3[/tex] ? (et pourquoi ?)

@+


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#7 08-08-2018 17:14:19

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 41

Re : Simplification d'une racine carré

Salut,

[V(2-V3) - V(2 + V3)]² = 2 - V3 + 2 + V3 - 2.V(2-V3).V(2 + V3) = 4 - 2.V(4-3) = 2

Et donc V(2-V3) - V(2 + V3) = ...

ATTENTION AU SIGNE.

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#8 08-08-2018 17:34:55

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 423

Re : Simplification d'une racine carré

Salut Black Jack,

Tu ne m'en voudras pas de reprendre en Latex ce que tu as fait, pour un peu plus de clarté :
[tex]\left[\sqrt{2-\sqrt 3}-\sqrt{2+\sqrt 3}\right]^2=(2-\sqrt 3)+(2+\sqrt 3)-2\sqrt{(2-\sqrt 3)(2+\sqrt 3)}=4-2\times\sqrt{4-3}=2[/tex]
d'autant que c'est une idée intéressante que je n'ai jamais eue...
En outre, cette méthode est plus générique que la mienne : elle fonctionnera toujours.

Quand te mets-tu à Latex ? D'accord, c'est un peu pénible au début, mais les 30 premières minutes...

@+


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#9 09-08-2018 05:33:59

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 41

Re : Simplification d'une racine carré

Salut,

Quand te mets-tu à Latex ?

Je me débrouille bien en Latex ... mais je suis d'un naturel paresseux et n'ai pas toujours le courage de l'utiliser.

[tex] \sqrt{2-\sqrt{3}}[/tex]

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