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#1 07-08-2018 09:27:54

Jof
Invité

Devoirs de vacances que je n'arrive pas

Bonjour je suis coincée sur un exercice pourriez vous m'aidez svp
ABCD est un carré de 6 cm . I est le milieu de [AD]. M est un point de [BC] et N un point de [CD] tels que BM=CN =x
Exprimer l'aire du triangle IMN en fonction de x

#2 07-08-2018 09:29:00

Jof
Invité

Re : Devoirs de vacances que je n'arrive pas

Merci d'avance

#3 07-08-2018 12:34:31

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 067

Re : Devoirs de vacances que je n'arrive pas

Bonjour,


Le secret est de décomposer en aires simples à calculer
L'aire du triangle IMN est la différence entre l'aire du trapèze MCDI et la somme des aires des triangles MCN et IDN.

Aire du Trapèze :
c'est le produit de la somme des bases (côtés parallèles) par la moitié de la hauteur (perpendiculaire aux deux bases).
Le trapèze est un trapèze rectangle ($\hat D = \hat C = 90°$)
Les bases sont [MC] et [ID]. ID = 3 et $MC = BC-BM = 6-x$
La hauteur est DC=6  et $\dfrac{DC}{2}=3$
Aire MCDI = [tex](3+6-x)\times 3=3(9-x)[/tex]

Aire des triangles : ce sont des triangles rectangles  ($\hat D = \hat C = 90°$) en C et D.
* Aire du triangle MCN : $\dfrac{MC\times CN}{2}=\dfrac{(6-x)\times x}{2}$
* Aire du triangle IDN : $\dfrac{ID\times DN}{2}=\dfrac{3(6-x)}{2}$

Aire cherchée :
$\mathcal{A}=3(9-x) -\left[\dfrac{x(6-x)}{2}+\dfrac{3(6-x)}{2}\right]$

Je te laisse le soin d'arriver à :
$\mathcal{A}=\dfrac{x^2-9x+36}{2}$

Vérification de la formule.
Si x = 0, $\mathcal{A}=18$
M est confondu avec B et N avec C : $BM = BC =6$ et la hauteur du triangle BIC isocèle en I (IB=IC) vaut DC=6.
Géométriquement, l'aire vaut [tex]\dfrac{6\times 6}{2}=18[/tex]

Si x =3, M est le milieu de [BC] et N celui de [CD]., et NI=NM.
Si je trace la hauteur du triangle IMN issue de I, il est facile de voir que l'aire du triangle INM est la moitié de celle du rectangle IMCD, elle-même la moitié de celle de du carré  soit (36/2)/2=9
La formule donne : $\dfrac{3^2-9\times 3+36}{2}=\dfrac{3^2-9\times 3+36}{2} = \dfrac{18}{2}=9$

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