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#1 04-07-2018 22:10:23

unguest
Membre
Lieu : PARIS
Inscription : 04-07-2018
Messages : 3

Infini... définissable ?!?!!?

Bonjour (bonsoir) à toutes et tous.

Elève de seconde (qui passe en première sur la saison 18/19), on nous a toujours appris que l'infini était... infini. On ne l'a jamais atteint et on est pas prêt de le faire.

Depuis un point de vue tout purement numérique, il est effectivement impossible de l'atteindre. Depuis quelques jours, je réfléchis au fait qu'il existerait un infini pour chaque unité de mesure.

Je m'explique :

Je vais ici donner quelques exemples qui me sont venu et m'ont paru comme "Les Infinis d'Unités" (c'est comme ça que je les ai appelé dans ma tête, sûrement car donner un nom à quelque chose qui n'existe pas est la seule manière de se convaincre qu'il faut quand même essayer de chercher...)

          -Vitesse : 3 * 10^8 (cécité) -> on peut tendre à cette vitesse mais jamais l'atteindre -> principe même de l'infini
          -Masse : Masse de l'univers -> on ne pourra jamais l'atteindre non plus
          -Longueur : Longueur de planck (10^(-33) cm) <- on ne peut pas aller en dessous. Si on suppose que l'univers est un carré de longueur, alors [tex]x\sqrt 2 [/tex] <- Aucune longueur n'est plus grande que celle-ci.

Comme vous pouvez le constater, il s'agit d'une liste non exhaustive et... fausse.

Le but ici est juste d'ouvrir la conversation et de voir vos points de vue sur le sujet et  d'ammener à la réfléxion.

J'éspère que personne n'en voudra à ma naïveté :)

Bien cordialement,
Arthur

"Il y a 10 types de personnes sur Terre, celles qui cherchent et celles qui trouvent"


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#2 05-07-2018 09:27:46

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 300

Re : Infini... définissable ?!?!!?

Bonjour,

Sois le bienvenu chez nous...

Depuis un point de vue tout purement numérique, il est effectivement impossible de l'atteindre. Depuis quelques jours, je réfléchis au fait qu'il existerait un infini pour chaque unité de mesure.

Je pense que tu fais un contresens...
Il y a deux domaines : les Sciences Physiques et les Mathématiques : le premier s'intéresse au concret, le 2nd, je ne dirais pas à l'abstrait, mais à l'impalbable...
Par définition, en Maths, infini n'est pas seulement synonyme d'inatteignable, c'est aussi une valeur qu'on ne peut écrire...
La constante de Planck h = 6,63 . 10 -34 joules.seconde, la longueur de Planck 1,62 10-35 m, le zéro absolu -273,15 °C... sont des "constantes" physiques, ce sont des limites en principe inatteignables mais dont la valeur numérique est connue, fixée (ce sont des décimaux) et donc pas infinies..
Mathématiquement, puisque ces valeurs sont connues, il est possible d'écrire des nombres inférieurs ou supérieurs...
Parce que si tu y vas par là, le mètre est tout aussi infini parce que, stricto sensu, inatteignable :
la longueur du trajet parcouru par la lumière dans le vide pendant une durée de [tex]\dfrac{1} {299 792 458}[/tex] seconde qui nous renvoie à la définition de la seconde : durée de 9192631770 oscillations de l'atome de Cesium...
Par inatteignable, j'entends : très exactement, avec une erreur de 0...
Erreur, nous y voilà, toute mesure physique est inatteignable exactement, c'est bien pourquoi les Physiciens usent des calculs d'erreurs...

Alors, tout ce qui touche en Physique à l'Univers est à prendre avec des pincettes : volume, diamètre, masse volumique... La théorie actuelle ne dit-elle pas que ledit Univers est en expansion ?
Le zéro absolu : il ne serait plus aussi intangible : https://www.sciencesetavenir.fr/fondame … 0#comments
Vitesse de la lumière (c). Il me semble avoir lu, il y a quelques années, qu'on aurait que le comportement de certaines particules ne s'expliquait qu'en postulant que $c$  est leur vitesse limite inférieure.
En résumé dès que tu peux quantifier un nombre, il n'est pas infini...

Le nombre d'éléments de l'ensemble [tex]\mathbb{N}[/tex] est infini, faute de mieux, il est noté [tex]\aleph_0[/tex] : on peut trouver plus petit (facile) et même plus grand, [tex]\aleph_1[/tex],  qui n'est pas [tex]\aleph_0+1[/tex], mais celui de l'ensemble [tex]\mathbb{R}[/tex], ce qui est communément admis par les mathématiciens du monde entier (en majorité détenteurs de la médaille Fiels, équivalent du prix Nobel), même si, régulièrement,  un certains nombre d'amateurs des Maths surgissent annonçant avoir prouvé que c'est faux.

C'est que jouer avec l'infini n'est pas anodin, c'est très très délicat, des notions arithmétiques usuelles n'ont plus cours...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#3 05-07-2018 10:15:05

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 273

Re : Infini... définissable ?!?!!?

Salut yoshi,

je suis bien d'accord avec toi, notre ami confond l'indénombrable avec l'inatteignable et dans son esprit, il doit avoir la vision de la notion de "limite à l'infini" qui lui fait confondre les deux notions.


Memento Mori ! ...

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#4 05-07-2018 16:38:47

Dattier
Membre
Inscription : 10-09-2017
Messages : 308
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Re : Infini... définissable ?!?!!?

Bonjour,

@Ungest : pour t'aider à clarifier ton intuition, en fait tu te dis que moralement [0,300 000[ pour les vitesses correspond en fait à [0,+oo[
Et tu as raison au sens que : [0,300 000[ peut être mis en bijection continue avec [0,+oo[, il suffit de prendre f(x)=x/(300000-x).

Bonne journée.

Dernière modification par Dattier (05-07-2018 22:48:45)


Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#5 08-07-2018 08:13:51

unguest
Membre
Lieu : PARIS
Inscription : 04-07-2018
Messages : 3

Re : Infini... définissable ?!?!!?

Merci beaucoup pour toutes vos réponses :)
Si j’ai bien compris, on peut en faire lanconclusuon que l´infini varie selon si on est en physique ou en maths (avec l’a bijection de Dattier)


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#6 08-07-2018 12:23:03

Dattier
Membre
Inscription : 10-09-2017
Messages : 308
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Re : Infini... définissable ?!?!!?

unguest a écrit :

Si j’ai bien compris, on peut en faire lanconclusuon que l´infini varie selon si on est en physique ou en maths (avec l’a bijection de Dattier)

Si tu veux bien restons en maths (je ne sais pas ce qu'on en dirait en physique), et en maths un ensemble de ce type [a,b[ avec a<b peut-être mis en bijection continue avec [0,+oo[.


Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#7 19-07-2018 16:02:26

gaga2711
Invité

Re : Infini... définissable ?!?!!?

Salut !

Je vais t'expliquer ce qu'on appelle, en maths, le cardinal d'un ensemble.
ça représente sa taille. On décrète que deux ensembles E et F on le même nombre d'éléments (on dit équipotents) s'il existe une bijection entre E et F.
Une bijection f entre E et F, c'est simplement une fonction qui vérifie qu'a chaque élément y de F, il existe un unique élément x de E tel que f(x)=y. Dans l'idée, il s'agit d'associer a chaque élément de E un unique élément de F, et inversement.

Par exemple, {4,8,6} et {8,1,5} sont équipotents parce qu'on peut associer a chaque éléments du premier un unique élément du deuxième, comme une sorte de correspondance :
4 -> 8
8 -> 1
6 -> 5

Alors qu'est ce que ça donne avec des ensembles infinis ?
Est ce que l'ensemble des entiers naturels N a le même nombre d’éléments que l'ensemble des entiers relatifs Z ?

Ouaip ! Dire que Z a autant d’éléments que N revient a dire que tu peux compter les entiers relatifs. Tu peux faire comme ça :

N --> Z
0 --> 0
1 --> 1
2 --> -1
3 --> 2
4 --> -2
5 --> 3
6 --> -3
...

Etc etc. Tu peux bien définir une bijection entre N et Z.

De la même façon, la bijection de dattier te montre que [a,b] a le même nombre d’éléments que R.

Et du coup, N et R ?
Et bien l'infini de R est beaucoup plus grand que l'infini de N.
On peut montrer (si tu veux regarder, ça s’appelle l'argument diagonal de Cantor) qu'il n'existe pas de bijection entre N et R.

ça nous amène a une remarque amusante : en maths, il y a effectivement plusieurs tailles d'infinis.
Le plus petit cardinal infini est celui des entiers.

(Par contre, il n'est pas "vrai" que l'infini qui le suit est celui des réels, c'est en fait indépendant des axiomes de ZFC, n'en parlons pas)

Voilà !
Mais au fur et a mesure que j’écris, je suis de plus en plus persuadé que je me suis éloigne de ta question initiale ^^
J’espère tout de même que ma réponse t'as intéressé :)

#8 20-07-2018 08:39:10

gaga2711
Invité

Re : Infini... définissable ?!?!!?

Sinon, pour revenir a ce que tu disais a la toute base : Il me semble effectivement qu'en physique, certaines quantités on des limites inatteignables, la vitesse de la lumière par exemple comme tu l'as dit est une limite théorique pour (normalement) la plupart des particules (je suis pas physicien donc j'ai peur de sortir des bêtises plus grosses que moi).
Cependant, toute les unités n'ont pas une limite finie en physique !
Encore une fois veuillez me pardonner si j’écris des bêtises, mais l'univers est infini.
A partir de là les longueurs peuvent être aussi grandes que tu veux ! ^^

En fait l'idée de "valeur limite inatteignable" ramène effectivement a l'idée d'un intervalle [0,c[, et comme le disait Dattier, c'est quasiment le même intervalle que [0,$\infty $[, il suffit de faire une sorte de "changement d’échelle" pour le voir.

En maths, les "changements d’échelles" corrects, on les appelle des homéomorphismes (et s'ils sont vraiment cools, on peut leur attribuer le nom de difféomorphisme, mais c'est pour les champions).
Un homéomorphisme c'est juste une bijection continue de réciproque continue, donc ça déforme ton truc de départ vers le truc d'arrivé, mais de manière gentille, ça ne le casse pas, ça ne fait pas de trous a l’intérieur. Il conserve un peu sa "forme".
Dans l'idée, [0,1[ est homéomorphe a [0,2[ par exemple.
Par contre [0,1[ n'est pas homéomorphe a [0,1] : tu vois que la forme de ton truc de départ change vraiment trop, on lui ajoute un bord.
Alors qu'a l'exemple d'avant on a juste un peu étiré l'intervalle.

Et on montre que [0,c[ est homéomorphe a [0,$\infty$[ par l'homéomorphisme de dattier :)

... Je vais m’arrêter là, je crois que je m'éloigne encore du sujet.
Je ne suis pas très au fait des règles d'un forum de maths, mais je pense que je dois frôler le hors-sujet, donc je vais attendre voir.

Amicalement,
Un inconnu qui aime les maths.

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