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Bipbip

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Exercice sur les séries

Bonjour, je cherche à résoudre un exercice que voici :
[tex]Soit (u_{n})_{n>1}[/tex] une suite réelle décroissante de limite nulle. On suppose que la suite de
terme général [tex]S_{n}=\sum_{k=1}^{n}u_{k}-nu_{n}[/tex] est bornée. Montrer que la série ∑un converge.

J'ai commencé par écrire [tex]S_{n}=\sum_{k=1}^{n}u_{k}-nu_{n}=\sum_{k=1}^{n}(u_{k}-u_{n})[/tex]

À partir de là, je montre que Sn est convergente (Puisque c'est une suite de termes positifs majorée), mais rien à faire, je n'arrive pas à prouver la convergence de la série des [tex]u_{n}[/tex], malgré plusieurs tentatives.

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance

Fred

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Re : Exercice sur les séries

Salut,

  Cela n'a pas l'air si facile. Il faut que tu utilises que $(u_n)$ décroit vers 0.
Soit $C>0$ tel que, pour tout $n\geq 1$, $S_n\leq C$.
Soit $n_0\in\mathbb N$. En utilisant ton hypothèse sur $(u_n)$, il existe un entier $n$ tel que,
pour tout $k\leq n_0$, on a $u_n\leq u_k/2$.

Maintenant, si je regarde $S_{n}$, alors je peux écrire que
$$S_{n}=u_1+\dots+u_{n_0}-n_0 u_n+\sum_{k=n_0+1}^n u_k-(n-n_0)u_n.$$
Or,
$$u_1+\dots+u_{n_0}-n_0u_n \geq \frac{1}{2}\left(u_1+\dots+u_{n_0}\right).$$
Mais on a aussi
$$\sum_{k=n_0+1}^n u_k-(n-n_0)u_n\geq 0.$$

De tout cela, tu dois pouvoir déduire que

$$\sum_{k=1}^{n_0}u_k\leq 2C$$
d'où la convergence de ta série.

F.

Bipbip

Invité

Re : Exercice sur les séries

Merci beaucoup Fred, il est vrai que c'était moins facile que ce que je pensais !