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dgregory

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Inégalité entre les valeurs moyennes et convexité

Bonjour,
Pourriez vous m'aider à résoudre le problème suivant. Je cherche à prouver que [tex]\tan(x)[/tex] est convexe sur [tex]{\displaystyle \left[0, {{\pi}\over{2}}\right[}[/tex] avec l'inégalité :
[tex]{\displaystyle f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}.} [/tex]
Je précise que je sais qu'on peut utiliser le signe de la dérivée seconde de [tex]\tan(x)[/tex] ; d'ailleurs, c'est assez facile de prouver la convexité de [tex]\tan(x)[/tex] avec ça ; mais il faut impérativement utiliser l'inégalité entre les valeurs moyennes ci-dessus.
Pour l'instant, j'ai choisi de poser [tex]{\displaystyle u = \tan\left(\frac{a}{2}\right)}[/tex] et [tex]{\displaystyle v = \tan\left(\frac{b}{2}\right)}[/tex]. Dans ce cas, j'obtiens avec les identités trignométriques :
[tex]{\displaystyle \frac{u+v}{1-uv} \leq \frac{u}{1-u^2} + \frac{v}{1-v^2}}[/tex] avec [tex]u, v \in [0, 1[[/tex].
Là, on remarque que pour [tex]u = v[/tex], il y a égalité ; donc quitte à permuter [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex], on peut supposer que [tex]u < v[/tex]. En partant de [tex]u < v[/tex], j'obtiens après différentes opérations :
[tex]{\displaystyle \frac{u}{1-u^2} \leq \frac{u}{1-uv} \leq \frac{v}{1-uv} \leq \frac{v}{1-v^2}.}[/tex]
Mais ensuite, je coince.

Dernière modification par dgregory (25-06-2018 19:59:09)

Fred

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Re : Inégalité entre les valeurs moyennes et convexité

Bonjour,

  En réalité, l'hypothèse \[ f\left(\frac{a+b}2\right)\leq\frac{f(a)+f(b)}2\] est suffisante pour prouver la convexité de la fonction $f$. Tu peux par exemple regarder cet exercice.
Je ne sais pas si c'est plus facile avec la fonction tangente.

F.

dgregory

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Re : Inégalité entre les valeurs moyennes et convexité

Bonjour,
Merci ; oui, je sais que cette condition (faible) est suffisante pour les fonctions continues. Voici la solution pour la fonction [tex]\tan(x)[/tex]. On met les deux membres au même dénominateur :
[tex](u+v)(1-u^2)(1-v^2)\leq u(1-uv)(1-v^2)+v(1-u^2)(1-uv).[/tex]
En particulier, dans le membre de droite, on a :
[tex]u(1-v^2)+v(1-u^2)=u+v-uv^2-u^2v=u+v-uv(u+v)=(u+v)(1-uv).[/tex]
donc :
[tex](u+v)(1-u^2)(1-v^2) \leq (1-uv)^2(u+v)[/tex]
[tex]1-u^2-v^2-u^2v^2 \leq 1- 2uv -u^2v^2[/tex]
[tex]0 \leq u^2+v^2-2uv.[/tex]