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#1 09-09-2007 17:33:39

Gros Caramel
Invité

linéarité d'une équation de 2 nombres complexes [Résolu]

Bonjour,

Je cherche à résoudre une équation impliquant des nombres complexes et je crois que la méthode que j'utilise est incorrecte.  Ma méthode me donne des résultats corrects (et vérifiables) mais elle ne me donne pas tous les résultats.

Voici le problème : "trouver les nombres complexes z tels que z^2 = conjugué de z"

Ma solution :

On cherche des nombres complexes de forme a+bi tels que (a+bi)(a+bi) = a-bi

On développe d'abord l'équation et on obtient

(a^2-b^2) + 2abi = a-bi

Cette équation est vérifiée lorsque

a = a^2-b^2
-b = 2ab

De -b = 2ab, on trouve facilement que a = -1/2

Si on remplace la valeur de a dans a = a^2-b^2 par -1/2, on obtient b = +/- racine(3)/2

Ce qui nous donne la solution

z = -1/2 + racine(3)/2
z = -1/2 - racine(3)/2

Il est assez facile de vérifier que ces réponses vérifient (a+bi)(a+bi) = a-bi

Cependant, on peut intuitivement trouver d'autres réponses valables.

Par exemple, si z = 1 + 0i, alors

1-0i = (1+0i)(1+0i)

Egalement, si z = 0 + 0i, l'équation est vérifiée.

Qu'est-ce qui ne va pas avec ma méthode?

merci,
SKS

#2 09-09-2007 20:23:13

Véronique
Invité

Re : linéarité d'une équation de 2 nombres complexes [Résolu]

Bonsoir,

  L'erreur vient de cette phrase :

"De -b = 2ab, on trouve facilement que a = -1/2"

Eh non, si on résoud "correctement", on factorise
b(2a-1)=0 et donc l'équation est équivalente à a=-1/2 ou b=0.

Le reste semble correct!

Am,
Véro.

#3 09-09-2007 20:48:19

Gros Caramel
Membre
Inscription : 09-09-2007
Messages : 27

Re : linéarité d'une équation de 2 nombres complexes [Résolu]

Merci Véronique,

Comment obtenir le nombre 1+0i qui vérifie également l'équation?


Le Tao qu'on tente de saisir n'est pas le Tao lui-même;
Le nom qu'on veut lui donnern'est pas son nom adéquat.
     - Lao-tseu

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#4 09-09-2007 20:54:17

Gros Caramel
Membre
Inscription : 09-09-2007
Messages : 27

Re : linéarité d'une équation de 2 nombres complexes [Résolu]

Oublie ca Véro, je viens de trouver la réponse à ma propre question :p

Avec b=0 comme possibilité, on obtient (en placant cette valeur dans la seconde équation)

a = a^2
a^2 - a = 0
a(a-1) = 0
a=0 ou a=1

merci de ton aide


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