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#1 08-06-2018 14:13:29

leo0
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Résoudre x² = 3/2 x +10

Bonjour,

$ f$ la fonction carré définie pour tout x par f(x) = x². Sa courbe représentative est la parabole tracée
ci dessous, dans le plan muni d'un repère orthonogonal.

mini_180608031142896246.png
1. Calculer les images des réels : -$\sqrt{6}$ ; $1 - \sqrt{2}$; $10^{-2}$; $\frac{7}{13}$
2. Quels sont les antécédents éventuels de 12 ?
3. Soit g la fonction affine définie pour tout x par g(x) = 3/2x + 10
a) Tracer dans le repère précédent, la courbe représentative de la fonction g.
b) Lire graphiquement les solutions de f(x) = g(x)

c) En déduire une factorisation E(x) = x² - 3/2x - 10.


f(x) = x²
si x = $-\sqrt{6}$ alors $f(-\sqrt{6})$ = $(-\sqrt{6})^{2}$


(1-$\sqrt{2}$)²
=Identité remarquable
=(1)² - 2 $\sqrt{2}$ +$(\sqrt{2})$²
=3 - 2 $\sqrt{2} $


$\left(10^{-2}\right)^{2}$ = $10^{-2}. 10^{-2}$ = 0,01. 0,01 = 0,0001

et 0,0001 > 0
(un carré est toujours positif )


(7/13)² = 49/169


2 ) Quels sont les antécédents éventuels de 12 ?

x² = 12
x² - 12 = 0
Identité remarquable
(x +$\sqrt{12}$ ) (x - $\sqrt{12}$ ) = 0

l'équation x² - 12 = 0 a deux solutions, $x = \sqrt{12}$ ou bien x = -$\sqrt{12}$

je peux dire également la droite y = 12 coupe la parabole en deux points d'abscisse x = $\sqrt{12}$ et -$\sqrt{12}$

Dernière modification par leo0 (08-06-2018 14:35:32)

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#2 08-06-2018 14:18:42

leo0
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

3 . g est la fonction affine définie pour tout réel x par $g(x) = \frac{3}{2}x + 10$
a) Tracer dans le meme repère, la courbe représentative de la fonction g.
b) Lire graphiquement, les solutions de l'équation f(x) = g(x).

f(x) = g(x) $\Leftrightarrow$ $x² = \frac{3}{2}x + 10$
ce qui correspond à $x² = k$ (exemple du cours)
ici $k > 0$

résoudre une équation $x² = k$  revient à résoudre l'équation x² - k = 0
par conséquent x² = k a deux solutions si $k > 0$

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#3 08-06-2018 17:35:44

yoshi
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

Salut,

f(x) = x²
si x = $-\sqrt{6}$ alors $f(-\sqrt{6})$ = $(-\sqrt{6})^{2}$

Résultat ?

$\left(10^{-2}\right)^{2}$ = $10^{-2}. 10^{-2}$ = 0,01. 0,01 = 0,0001

Roooh...
Trois règles sur les puissances que tu sembles avoir oubliées :
[tex]a^m\times a^n=a^{m+n}[/tex]

[tex]a^m \times b^m = (a\times b)^m[/tex]

[tex]\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}[/tex]
Donc :
$\left(10^{-2}\right)^{2}=10^{-2\times 2}=10^{-4}$
Quel intérêt d'écrire 0.0001 ? Ça te rassure ?

$(x +\sqrt{12}) (x - \sqrt{12}) = 0$

L'équation ci-dessus est nulle si et seulement si
[tex]x +\sqrt{12} = 0[/tex]   ou    [tex]x -\sqrt{12} = 0[/tex]
L'ensemble des solutions est [tex]S=\{ -\sqrt{12},\sqrt{12}\}[/tex]
Il y a donc deux solutions :
[tex]-\sqrt{12}[/tex]  et  [tex]\sqrt{12}[/tex]  et non ou bien...

L'énoncé te demande :

3. $g$ est la fonction affine définie pour tout réel $x$ par [tex]g(x)=\dfrac 3 2x+10[/tex]
a) Tracer dans le même repère, la courbe représentative de la fonction $g$.
b) Lire graphiquement, les solutions de l'équation [tex]f(x) = g(x)[/tex].

C'est ça ta réponse :

[tex]f(x) = g(x) \Leftrightarrow x^2=\dfrac 3 2x+10[/tex]
ce qui correspond à [tex]x^2=k[/tex] (exemple du cours)
ici [tex]k>0[/tex]

résoudre une équation $x²=k$
  revient à résoudre l'équation [tex]x^2 - k = 0[/tex]
par conséquent x^2 = k a deux solutions si [tex]k>0[/tex]
???

Dans l'exemple du cours, k est une constante réelle, pas une fontion !
Ici, ton k c'est $g(x)$  qui est égal à [tex]\dfrac 3 2 x +10[/tex] dont tu prétends sans vergogne que c'est positif !!!
Essaie donc pour x = -7...
Tu peux dire, par contre que f(x)=g(x) aura des solutions lorsque g(x) sera positif soit pour [tex]x>-\dfrac{21}{2}[/tex]

Et puis quoi ? Fais-tu ce qu'on t'a demandé ? Non ! Tu répètes (mal) ton cours...

L'énoncé te demande de tracer sur le même graphique la parabole représentative de la fonction carré et la droite représentative de la fonction affine $g$ telle que $g(x)=\dfrac 3 2 x + 10$
L'as-tu fait ?
J'en doute ! Sinon tu aurais trouvé - par lecture graphique - deux solutions (une négative, une positive) ! puis la factorisation...

N-B : Tu pourrais aussi trouver la factorisation en écrivant [tex]x^2-\dfrac 3 2 x -10[/tex] sous forme canonique... Ici, c'est bien plus simple, on te demande de lire sur ton graphique...

@+


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#4 08-06-2018 18:48:42

leo0
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

Bonsoir Yoshi
merci de m'avoir répondu

Dernière modification par leo0 (08-06-2018 18:58:49)

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#5 08-06-2018 19:02:08

leo0
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

mini_180608074839725723.png

x² = k avec k réels

$k = 0 $ et l'équation x² = 0 a une seule solution , x² = 0
$k < 0 $ et l'équation x² = k n' a pas de solution, parce que un carré est toujours positif et on ne peut pas avoir x² = - 1
$k > 0$
résoudre une équation x² = k, revient à résoudre l'équation x² - k = 0
mais là on a une droite équation : $ y = ax + b$.
b = 0 et la fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax$ est une fonction linéaire.
donc parallèle à l'axe des abscisse

ce qui veut dire :
et bien je peux résoudre x² = 3/2x + 10 si la droite est supérieure à l'axe des abscisses

Dernière modification par leo0 (08-06-2018 19:16:31)

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#6 08-06-2018 19:32:38

yoshi
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

Re,

Pourquoi réels avec un s ? k est un nombre réel

b = 0 et la fonction affine définie sur R par f(x)=ax est une fonction linéaire.
donc parallèle à l'axe des abscisse

Faux ! Une droite // à l'axe des abscisses a une équation du type y=constante.
La fonction linéaire est une représentation de la propotionnalité elle pass par l'origine des coordonnées...

x² = k avec k réels

k=0
et l'équation x² = 0 a une seule solution , x² = 0
k<0 et l'équation x² = k n' a pas de solution, parce que un carré est toujours positif et on ne peut pas avoir x² = - 1
k>0
résoudre une équation x² = k, revient à résoudre l'équation x² - k = 0
mais là on a une droite équation : y=ax+b.
b = 0 et la fonction affine définie sur R par f(x)=ax

est une fonction linéaire.
donc parallèle à l'axe des abscisse

ce qui veut dire :
et bien je peux résoudre x² = 3/2x + 10 si la droite est supérieure à l'axe des abscisses

Bla ! bla ! bla !
Aucun intérêt...

Je vais te l'écrire en rouge gras, peut-être te décideras-tu à faire ce qu'on te demande ?
Quelles sont les abscisses des points d'intersection de la courbe y=x² et de la droite affine d'équation [tex]y=\dfrac 3 2 x+10[/tex] que tu lis sur le graphique ?

@+


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#7 08-06-2018 19:57:59

leo0
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

180608090617772539.png

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#8 08-06-2018 20:04:32

yoshi
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

B'soir,

Ah ! quand même... Tu y auras mis le temps !
Donc, comment factorises-tu [tex]f(x)=x^2-\dfrac 3 2 x -10[/tex] ?

@+


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#9 08-06-2018 20:05:28

leo0
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

j'ai tracé la parabole d'équation $y = x²$
et je la coupe avec la droite affine d'équation $y = 3/2 x + 10$

Lecture Graphique
pour des valeurs de $ x$ supérieures à $-\frac{b}{a}$, il y a deux points d'intersection d'abscisses $x = -2,5 $ et $x = 4$

Dernière modification par leo0 (08-06-2018 20:13:21)

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#10 08-06-2018 20:06:41

yoshi
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

Re,

Donc, quelle est la factorisation de [tex]f(x)=x^2-\dfrac 3 2 x -10[/tex] ?

@+


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#11 08-06-2018 20:09:49

leo0
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

Pour la factorisation, donc pour résoudre algébriquement $f(x) = g(x)$.

c'est à dire : $x²  = \frac{3}{2} x + 10$

et résoudre l'équation  $x²  = \frac{3}{2} x + 10$ revient à  résoudre l'équation  $x²  - \frac{3}{2}x $- $10 = 0$



Factorisation

$x²  - \frac{3}{2} x$ est le début d'une identité remarquable $x²  - 2 . \frac{3}{4} . x + (\frac{3}{4})^{2} = (x -\frac{3}{4})^{2}$

je précise 2 fois $\frac{3}{4}= \frac{6}{4}$ qui se simplifie en $\frac{3}{2}$


j'en déduis :    $x²  - \frac{3}{2} x - 10 = (x - \frac{3}{4})^{2} - (\frac{3}{4})^{2}  - 10 = (x - \frac{3}{4} )^{2} - \frac{9}{16} - 10 = (x - \frac{3}{4})^{2} -  \frac{169}{16} $

Dernière modification par leo0 (08-06-2018 20:29:24)

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#12 08-06-2018 20:22:53

yoshi
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

Re,


$x²  - \frac{3}{2} x - 10$
  -10, et non +10, sinon pas de  solutions...
Bel effort, mais on te demande de la déduire des solutions trouvées graphiquement...

@+


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#13 08-06-2018 20:40:59

leo0
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

je viens de corriger le signe -

Ainsi, je suis arrivé à $f(x) - g(x) = \left(x - \frac{3}{4}\right)^{2} - \frac{169}{16}$

Identité remarquable

$\left( \left(x - \frac{3}{4}\right) + \sqrt{\frac{169}{16}}\right) \left(\left(x - \frac{3}{4}\right) - \sqrt{\frac{169}{16}}\right) = 0$

$\left( \left(x - \frac{3}{4}\right) + \frac{13}{4}\right) \left(\left(x - \frac{3}{4}\right) - \frac{13}{4}\right) = 0$

$\left(x + \frac{10}{4}\right)\left(x - 4\right) = 0$

l'équation est nulle si et seulement si

$x = 4$ ou $x =  - \frac{10}{4}$

L'ensemble des solutions est $S=\{ -\frac{10}{4}, 4\}$

Dernière modification par leo0 (08-06-2018 20:44:48)

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#14 09-06-2018 05:36:26

yoshi
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

Re,

Bien !
Mais la question était :  déduire la factorisation de [tex]x^2-\dfrac 3 2 x -10[/tex] des solutions trouvées graphiquement...

N-B : une fraction résultat se présente sous forme irréductible.

@+


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#15 17-06-2018 10:45:28

leo0
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

Bonjour Yoshi


Message 3

$x > -\frac{21}{2}$

je suis en train de refaire l'exercice, je n'arrive pas à trouver ton résultat.

Peux-tu m'expliquer pour trouver $-\frac{21}{2}$, s'il te plaît.

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#16 17-06-2018 12:36:20

yoshi
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

Bonjour,

Je veux bien...
Mais il est où est le Message 3 ? Pas dans cette discussion, apparemment : pas vu !...
Ah ! Tu veux dire message ou post #3...

Bon, ça fait déjà un moment (9 jours) : j'ai oublié comment j'en suis arrivé là, mais c'est faux...
Donc j'ai écrit :

Tu peux dire, par contre que f(x)=g(x) aura des solutions lorsque g(x) sera positif soit pour [tex]x>\dfrac{−21}{2}[/tex]

C'est très étrange. Ce n'est pas une simple erreur de calcul...
Hmmmmm...
J'ai "trouvé".
Juste au-dessus, je t'avais écrit :

Ici, ton k c'est g(x)  qui est égal à [tex]\dfrac 3 2 x+10[/tex] dont tu prétends sans vergogne que c'est positif !!!
Essaie donc pour [tex]x = -7[/tex]...

La seule explication que je voie est que j'ai fait : [tex]\dfrac 2 3 x>-7[/tex] ce qui équivaut à [tex]x>\dfrac{−21}{2}[/tex]...
Mais c'est tout aussi bizarre parce que ça n'a rien à voir avec $g(x)$, donc non, ça n'explique rien...

Mais voilà :
[tex]g(x)\geqslant 0[/tex]
[tex]\;\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\dfrac 3 2 x+10\geqslant 0[/tex]
[tex]\;\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\dfrac 3 2 x\geqslant -10[/tex]
[tex]\;\Leftrightarrow[/tex]
[tex] x\geqslant -\dfrac {20}{3}[/tex]

@+


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#17 17-06-2018 13:10:33

leo0
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

super sympa ..

merci de m'avoir répondu

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#18 18-06-2018 09:52:22

leo0
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

salut

f est affine alors il existe deux réels a et b tel que f(x) =  a x + b

ax + b > 0
ax > b
x > -b/a

ax + b > 0 si x > -b/a

si  la droite est décroissante, ce que vient de faire n'est pas valable ..
Vois-tu ce que j'essaie de faire ??
Peux-tu m'aider ?

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#19 18-06-2018 10:52:29

yoshi
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

Re,

Je ne sais pas ce que tu bricoles mais tu es tombé dans un piège classique...
a est le coefficient directeur de la droite...
Si la droite "descend", alors tu as beau ne pas le voir mais le signe de a est -, a est négatif !!!
Tu fois changer l'ordre en divisant par a !

Donc, si la fonction affine est décroissante (si elle est du type f(x)=b, alors a = 0 et tu ne peux pas diviser par a)
[tex]ax + b \geqslant 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]ax \geqslant -b[/tex]     En prime, on va dire (je vais être "gentil") que tu avais oublié de mettre - devant b à cette ligne...
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]x \leqslant -\dfrac b a[/tex]

@+


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#20 18-06-2018 12:08:07

leo0
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

Il y a deux cas :

1er cas : la fonction affine est croissante ( a > 0)
et il existe deux réels a et b tel que $f(x) = a x + b$

2e cas :  la fonction affine est décroissante ( a < 0)
et il existe deux réels a et b tel que $f(x) =$ -a$ x + b$

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#21 18-06-2018 12:29:14

yoshi
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

Re,


2e cas :  la fonction affine est décroissante ( a < 0)
et il existe deux réels a et b tel que $f(x) =$ -a$ x + b$

Absolument pas !
Dans les deux cas, ta fonction affine est définie par [tex]f : x \mapsto f(x)=ax+b[/tex]  avec [tex]a,b \in \mathbb{R}[/tex]

En écrivant -ax+b, tu montres que tu ne tiens pas compte correctement de ma réponse précédente.
Tu notes a <0,  mais -a étant l'opposé de a, -a lui est positif...
Et la fonction f telle que [tex]f(x)=-ax+b[/tex] est croissante !

Considère que a est écrit sur une enveloppe cachetée, dedans il y a un nombre postif ou négatif...
S, en plus, on te dit que la fonction est décroissante tu es certain en ouvrant l'enveloppe d'y trouver un nombre négatif... Point.
A partir de
[tex]ax\geqslant -b[/tex]
Si tu sais que le nombre a est positif; alors tu déduis que [tex]x\geqslant \dfrac{-b}{a}[/tex] qui s'écrit encore [tex]x\geqslant -\dfrac{b}{a}[/tex]
Si tu sais que le nombre a est négatif; alors tu déduis que [tex]x\leqslant \dfrac{-b}{a}[/tex] qui s'écrit encore [tex]x\geqslant -\dfrac{b}{a}[/tex]

La seule chose qui change entre les deux est l'ordre !

@+


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#22 18-06-2018 16:14:46

leo0
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

j'ai bien aimé l'exemple avec l'enveloppe cachetée, en troisième, on ne m'a pas donné d'exemple comme celui, soit on comprenait, soit on comprenait pas et le cours continuait.... là, je m'aperçois avoir des difficultés de compréhension....

j'ai bien compris avoir écrit quelque chose de pas logique, mais là, j'essaie de comprendre mon raisonnement .....
j'ai écris :

----------------------------------------------------------------------
2e cas :  la fonction est décroissante ( a<0 )

il existe 2 réels a, b tel que $f(x) =$ -a$x + b$

-----------------------------------------------------------------------

Donc voilà,  c'est ce que j'ai écrit, ça n'a rien à voir avec le cours mais c'est ce que j'ai écrit
maintenant, si on analyse ça :

$f(x) = $-a $x + b$ signifie  je prends l'opposé de a, c'est ce que ça veut dire quand j'écris ça !!????

comme a < 0 alors j'ai - (-a) = a donc le -a est positif car j'ai appliqué -(-a) = a
et la fonction f telle que f(x) = -a x + b est croissante

Dernière modification par leo0 (18-06-2018 16:15:21)

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#23 18-06-2018 17:16:42

yoshi
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

Salut,

En 4e, on a dû (peut-être) d'élément neutre pour une opération donnée...
Pour l'addition, l'élément neutre est 0 : il ne change rien à une somme...
Pour la multiplication, l'élément neutre est 1 : il ne change rien à un produit...
Mais des 2 côtés :
a+0=0+a = a
a x 1 = 1 x a = a
Tu peux noter que ni la soustraction, ni la division ne possèdent d'élément neutre (tu trouveras facilement pourquoi)...

Dans [tex]\mathbb{R}[/tex] tout élément a possède un symétrique : on l'appelle opposé ! Oui, l'opposé de a est noté -a.
On a : a+(-a)=-a+a =0
Si je décachète mon enveloppe contenant a :
* Si a=-2  alors -a = -(-2)=2
* Si a=3,5  alors _a = -3,5

Donc quand j'écris [tex]f(x)=ax+b[/tex] j'ignore de tout de la valeur de a et b et donc de leurs signes.
Tout ce que je peux dire, c'est :
* Si a > 0  alors la droite représentative "monte" la fonction f est croissante
* Si a < 0  alors la droite représentative "descend" la fonction f est décroissante
* Si a = 0  alors la droite représentative  ne "monte", ni ne "descend" : la fonction f est contante
* Si [tex] a\neq 0[/tex]  et b =0 , la fonction est un cas particulier de fonction affine : c'est une fonction linéaire, une représentation de la proportionnalité...

De même que dans [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex] tu ignores totalement si les coefficients cachés dans des enveloppes a, b et c sont positifs, négatifs... Si on te dit que f est une fonction du 2nd degré alors, tu sais que [tex] a\neq 0[/tex], sinon on retombe sur une fonction affine...
Qu'est ce qu'on peut en dire ?
* Que la courbe représentative  est une parabole,
* Que si a est positif alors l'ouverture est vers le haut et vers le bas si a <0
* Qu'elle passe par un extremum pour [tex]x =-\dfrac{b}{2a}[/tex]
  - Si a est positif, alors cet extremum est précisément un minimum : 
     sur [tex]\left]-\infty\;;\;-\dfrac{b}{2a}\right][/tex] f est décroissante, puis croissante sur [tex]\left[-\dfrac{b}{2a}\;;\;+\infty\right[[/tex]
  - Si a est négatif, alors cet extremum est précisément un maximum : 
     sur [tex]\left]-\infty\;;\;-\dfrac{b}{2a}\right][/tex] f est décroissante, puis décroissante sur [tex]\left[-\dfrac{b}{2a}\;;\;+\infty\right[[/tex]
Pourtant tant que je ne connais pas la valeur de a et b, j'ignore quel est le signe de [tex]-\dfrac{b}{2a}[/tex]...
Tout ce que peux dire, et ça ne m'avance pas beaucoup, c'est que
* [tex]-\dfrac{b}{2a}[/tex] est l'opposé de  [tex]\dfrac{b}{2a}[/tex]
* si un seul parmi a et b est négatif, alors [tex]-\dfrac{b}{2a}>0[/tex]
* si a et b sont négatifs, alors [tex]\dfrac{b}{2a}>0[/tex] et donc son opposé [tex]-\dfrac{b}{2a}<0[/tex]
On a fait ensemble un exercice là-dessus...

Pour revenir à cette histoire de symétrique, tous les réels, sauf 0, ont un symétrique pour la multiplication : il s'appelle inverse...
Avec [tex]a\neq 0[/tex], l'inverse de a est [tex]\dfrac 1 a[/tex] : [tex]a \times \dfrac 1 a = \dfrac 1 a \times a =1[/tex]
Beaucoup d'entre vous confondent inverse et opposé...

@+


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#24 18-06-2018 17:46:03

leo0
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

salut


juste pour la première phrase :
" on a dû peut-être (d'éléments neutre ) pour une opération donnée.."
il manque peut-être un verbe, (en allant trop vite, peut-être ) mais je n'arrive pas à deviner le terme manquant
est ce que tu peux faire une modification ?
d'avance merci

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#25 18-06-2018 17:57:34

yoshi
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Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

Re,

En 4e, on a dû (peut-être) te parler de la notion d'élément neutre pour une opération donnée...

Rectifié, le morceau de phrase avait sauté...

@+


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