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#1 12-06-2018 13:22:43

leo0
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Donner un encadrement de |a |

Bonjour,


a est un réel de $-3 \leqslant a \leqslant 2$ . Donner un encadrement de $\left|a \right|$.


pour cela, et bien je suis obligé d'appliquer la règle : lorsque x < 0 alors $\left|a \right| =- a$.

donc, je prends l'opposé de tous les réels négatifs situés dans l'intervalle : $ -3\leqslant a \leqslant 0$.

ainsi : $ -3\leqslant a \leqslant 0 \Leftrightarrow 0\leqslant -a \leqslant 3$

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#2 13-06-2018 10:36:01

mtschoon
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Re : Donner un encadrement de |a |

Bonjour,

Oui, mais il faut compléter ta démarche (vu qu'il y a ici le cas a négatif et le cas a positif)

1er cas : [tex]-3 \le a \le 0  \Leftrightarrow 0 \le |a| \le 3 [/tex]

2ème cas : [tex] 0 \le a \le 2  \Leftrightarrow  0 \le |a| \le 2[/tex]

Il te reste à tirer la conclusion générale (union des deux cas)

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#3 13-06-2018 11:01:37

leo0
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Re : Donner un encadrement de |a |

$\left|a \right| = a $ si $a > 0$.

$\left|a \right| = - a$ si $a < 0$.


Si $a > 0$ alors $\left|a \right| < 2 \Leftrightarrow   a < 2$

Or $a > 0$ et $a < 2 $.

donc $0< a < 2$.

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#4 13-06-2018 11:02:49

leo0
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Re : Donner un encadrement de |a |

j'ai oublié de dire bonjour...

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#5 13-06-2018 11:13:00

yoshi
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Re : Donner un encadrement de |a |

Re,

leo0 a écrit :

Donc [tex]0 <a < 2[/tex]

1. Alors, je prends un contre-exemple :
    soit [tex]a = -2.8[/tex] : j'ai bien [tex]-3\leqslant -2.8<\leqslant 2[/tex]
    Et donc [tex]|a| =2.8[/tex]
    As-tu l'impression que 2.8 soit dans l'intervalle [tex]]0\,;\,2[[/tex] ???

2. mtschoon a utilisé $\leqslant$, toi :$<$. Pourquoi donc ? As-tu revu ton énoncé ?

3. mstschoon a parlé de réunion (on a pourtant parlé longuement de ça, dans ton sujet précédent !).
    Crois-tu que[tex] [0\;\,2]\,\cup[0\,;\,3][/tex]  soit égal à [tex][0\;\,2][/tex] ?

@+


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#6 13-06-2018 11:29:49

leo0
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Re : Donner un encadrement de |a |

Bonjour Yoshi,


là, j'ai traité le cas $\left|a \right|< 2$

et je traite, maintenant  : $\left|a \right| < 3 $


-----------------------------------------------------------------

si $a > 0 $ alors $\left|a \right|< 3 \Leftrightarrow a < 3$.

Or $a > 0$ et $a < 3$.
Donc $0 < a < 3$.

-----------------------------------------------------------------



-----------------------------------------------------------------

si $a < 0$ alors $\left|a \right|< 3  \Leftrightarrow -a < 3  \Leftrightarrow a > -3$.

Or $a  < 0 $ et$ -3 < a$.


Donc $-3 < a < 0$.
----------------------------------------------------------------


$0 < a < 3$.
$-3 < a < 0$.

$-3 + 0 < a < 0+3.$

Dernière modification par leo0 (13-06-2018 11:39:51)

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#7 13-06-2018 12:36:30

yoshi
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Re : Donner un encadrement de |a |

Re,

leo0 a écrit :

là, j'ai traité le cas |a|<2

et je traite, maintenant  : |a|<3

Donc [tex]−3<a<0[/tex].

Oui et non, Tu mets la charrue avant les bœufs.
Tu étudies le cas [tex]0\leqslant a\leqslant 2[/tex] puis le cas [tex]-3 \leqslant a\leqslant 0[/tex]. Les valeurs absolue arrivent en conclusion...
"Donc", introduit une conclusion. Or, tu ne fais que répéter l'énoncé...
Tu te disperses trop et de plus tu persistes à utiliser < et non [tex]\leqslant[/tex]...

Bon, ainsi que te l'a dit mtschoon et que je te l'ai expliqué dans ton sujet précédent, tu repars de l'énoncé et tu fais les choses avec rigueur et méthode !

Selon l'énoncé, on a :
[tex]-3 \leqslant a\leqslant 2[/tex]

On distingue alors 2 cas :
1er cas [tex]-3 \leqslant a\leqslant 0[/tex]
    [tex]a \leqslant 0[/tex]
         donc
    Conclusion pour |a| ? (et pas besoin de 10 lignes, hein...)

2e cas : [tex]0\leqslant a\leqslant 2[/tex]
            [tex]a\geqslant 0[/tex]
           donc
           conclusion pour |a| ?

Et maintenant, conclusion finale (Réunion et non Intersection)...

(Comme ça, c'est "propre", clair et net)

@+


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#8 13-06-2018 17:49:53

leo0
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Re : Donner un encadrement de |a |

Pour la fonction carré $f(x) = x²$.

Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l'ordre contraire.
si  $a < b \leqslant 0$ alors $a²\geqslant b²$.

Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre.
si $0\leqslant a < b$ alors $a² \leqslant b²$

---------------------------------------------------


Pour donner un encadrement de a² sur $-3 \leqslant a\leqslant 2$.

a² n'est pas monotone sur cet intervalle.
a² est croissante sur $-3 \leqslant a \leqslant 0$ et croissante sur $0\leqslant a \leqslant 2$.

Je distingue alors 2 cas :
1e cas : $-3 \leqslant a \leqslant 0$
2e cas : $0 \leqslant a \leqslant 2$

et maintenant je peux utiliser la fonction carré.

- Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l'ordre contraire
Ainsi : $-3\leqslant a \leqslant 0 \Rightarrow  9\geqslant a² \geqslant 0$

-Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre
Ainsi : $0\leqslant a \leqslant 2 \Rightarrow 0 \leqslant a² \leqslant 4$

et maintenant, conclusion finale (Réunion des intervalles)
$0\leqslant a² \leqslant 4\leqslant  9 \Rightarrow 0 \leqslant a² \leqslant 9$



--------------------------------------------------------------------------------------

je passe à la question qui est demandée :

a est un réel de $-3 \leqslant a \leqslant 2$. Donner un encadrement de |a|.

--------------------------------------------------------------------------------------`


$-3\leqslant a \leqslant 2$

La fonction Valeur absolue n'est pas monotone sur cet intervalle.
|a| est décroissante sur $-3 \leqslant a\leqslant 0$ et croissante sur $0\leqslant a \leqslant 2$.

On distingue alors 2 cas :
1e cas $-3\leqslant a\leqslant 0$
    $a\leqslant 0$
        Donc  |a| = - a

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#9 13-06-2018 18:16:40

yoshi
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Re : Donner un encadrement de |a |

Re,

C'est quand même curieux de voir que tu t'arrêtes en toute !On distingue alors 2 cas :

1e cas $-3\leqslant a\leqslant 0$
    $a\leqslant 0$
        Donc  |a| = - a

En quoi est-ce la conclusion demandée ? C'est du cours !!!!
1e cas $-3\leqslant a\leqslant 0$
    $a\leqslant 0$  d'où   |a| = - a   
    Donc [tex]0\leqslant |a|\leqslant 3[/tex]

C'est une suite du précédent sujet ? Tiens donc !!!
Alors pourquoi en faire deux sujets séparés ?

@+


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#10 13-06-2018 19:39:44

leo0
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Re : Donner un encadrement de |a |

ce ne sont pas deux sujets séparés
là, je me suis fixé un programme de révision.......

comme, on avait vu ensemble un encadrement de x²
j'ai simplement voulu appliquer la même question mais pour a²
au niveau de la rédaction, de la clarté, est-ce que le message de 17h 49 te parait correct ?

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#11 13-06-2018 19:48:40

leo0
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Re : Donner un encadrement de |a |

Tu m'as demandé :



1e cas : $-3\leqslant a \leqslant 0$
     $a\leqslant 0$
        Donc




alors, voilà comment ça se passe dans ma tête :

je lis

    $a \leqslant 0$

j'en déduis que tu veux me faire réciter la règle sur la valeur absolue :
si $a \leqslant 0$ alors |a| =- a

et le Donc, et bien j'ai pas encore trop compris que cela implique conclusion

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#12 13-06-2018 20:06:35

yoshi
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Re : Donner un encadrement de |a |

Re,

Décidément...
Je t'ai répondu post #9.
Ça ne t'a pas paru être la réponse à la question que tu poses ensuite ?
Sauf si ta question porte sur les valeurs absolues...
Or, ton post parle du carré et après des valeurs absolues.
Pour les carrés, c'est correct...
Pour les valeurs absolues, ça ne l'est pas...
Je te l'ai dit : comment peux-tu conclure sur quelque chose qui figure dans ton cours ?
Le cours sert à tirer une conclusion.
La trame est celle-ci :
l'énoncé me dit que (ou : je viens de montrer que)...
Or, le cours dit que ...
Donc, j'en conclus que...

Exemple bateau, un peu simplet...
L'énoncé me donne 4 points ABCD tels que [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}[/tex] et on me demande de prouver que [AC] et [BD] ont le même milieu...
D'après l'énoncé :
[tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}[/tex]
Or, je sais que dans ce cas, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Donc ABCD est un parallélogramme.
Or, je sais que les diagonales d'un parallélogramme ont le même milieu.
Donc, [AC] et [BD] étant les diagonales du parallélogramme ABCD, [AC] et [BD] ont le même milieu.

Pourquoi soulignes-tu : ensemble ? Tu as peur que je ne m'en souvienne pas ? Rassure-toi, ma mémoire n'est pas vide (ni pleine d'ailleurs : j'ai encore de la place. Jouer aux Echecs, sans sa mémoire c'est se vouer à... l'échec ^_^ Or, je m'efforce de résoudre au moins un problème d'Echecs tous les jours...)

@+


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#13 13-06-2018 20:22:03

leo0
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Re : Donner un encadrement de |a |

c'est surtout parce que, quand j'ai une question : Donner un encadrement de x² avec x dans l'intervalle [-0,5;0]
moi, j'avais répondu ça :
si -0,5 < x < 3 alors l'encadrement de x² est : 0,25 < x² < 9.
c'est aussi ce que j'ai répondu dans un contrôle.
je sais que c'est faux.
et ce que j'ai vraiment apprécié et bien c'est quand tu m'as dit : "Très important est que tu saches expliquer, si on te pose la question, pourquoi avant d'utiliser la fonction carré, j'ai coupé l'inégalité $-0,5 \leqslant x \leqslant 3$ en deux parties : $-0,5 \leqslant x \leqslant 0$ et $0\leqslant x \leqslant 3$."
là, je relis souvent tes messages ( ils sont très instructifs....)

Alors, j'ai bien relu mon cours de cette année
et j y ai lu:

Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l'ordre contraire
si $a \leqslant b \leqslant 0$ alors $a² \geqslant b²$.

Dernière modification par leo0 (13-06-2018 20:44:35)

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#14 14-06-2018 07:12:47

yoshi
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Re : Donner un encadrement de |a |

Salut,

Et si on prenait ce genre de problèmes par l'autre bout ?
On a $|x-3|\leqslant 2$,  $x$ est un réel
Donner l'encadrement de $x$.

As-tu déjà résolu (ou déjà vu) ce type d'équations :
[tex]|x+3|-2|x-1|=4[/tex] ?

@+


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#15 14-06-2018 09:36:05

leo0
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Re : Donner un encadrement de |a |

Salut,
non, je n'ai pas encore résolu ce type d'équations
c'est ce que l'on voit en première ?

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#16 14-06-2018 09:44:27

yoshi
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Re : Donner un encadrement de |a |

Re,

Je vais vérifier : je ne sais plus : c'est probable...
Par contre, ça :
On a $|x-3|\leqslant 2$,  $x$ est un réel
Donner l'encadrement de $x$.
c'est à ta portée dès cette année, ça n'a rien de sorcier !
Alors, peux-tu répondre ?

@+


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#17 14-06-2018 09:59:57

leo0
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Re : Donner un encadrement de |a |

je vais essayer :$|x-3| \leqslant 2$



|x| = x, si x > 0

|x| = - x , si x < 0


considérons l'inéquation : $|x| \leqslant 2$ ( en posant X = x - 3 ).

si $x \geqslant 0$ alors $|x| \leqslant 2$ <=> $x \leqslant 2$.

mais $x \geqslant 0$ 
Donc  $0 \leqslant x \leqslant 2$.



si $x \leqslant 0$ alors $|x|\leqslant 2$ <=> $-x \leqslant 2$ <=> $x \geqslant -2$.

mais $x \leqslant 0$ et $x \geqslant -2$.
Donc  $-2 \leqslant x \leqslant 0$.

Dernière modification par leo0 (14-06-2018 10:01:59)

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#18 14-06-2018 10:03:39

leo0
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Re : Donner un encadrement de |a |

$-x \leqslant 2$

pour avoir x et pas -x
je change l'ordre
c'est bien cela ?

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#19 14-06-2018 10:58:23

yoshi
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Re : Donner un encadrement de |a |

Re,

Tu as coincé dès le départ, j'ai bien fait de te poser la question
C'est [tex]|x-3|[/tex] et non |x|
[tex]|x-3|\neq |x|-3[/tex] ...
Si tu poses $X=x-3$, tu as [tex]|X|\leqslant 2[/tex] et tu étudies bien 2 cas  selon le signe de X ? D'accord ?

Et bien là ce n'est pas $X$  mais $x-3$ et tu as deux cas à étudier selon le signe de... $x-3$ et non le signe de $x$...
Comprends-tu ?
Maintenant, tu dois pouvoir redémarrer...

@+


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#20 14-06-2018 13:47:08

leo0
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Re : Donner un encadrement de |a |

|x-3| < 2, x est un réel
Donner l'encadrement de $x$.


examinons deux cas selon le signe de x ...

premier cas : $x \geqslant 0$.

|x| = x, si $x \geqslant 0$.


Donc : $|x-3| \leqslant 2$ <=> $x - 3 \leqslant 2$ <=> $x -3 + 3 \leqslant 2 +3 $<=> $x \leqslant 5$.



deuxième cas : $x \leqslant 0$.

|x| = -x, si $ x \leqslant 0$.


Donc : : $|x-3|\leqslant 2$ <=> $-(x-3) \leqslant 2$ <=> $-x +3 \leqslant 2$.

$-x + 3 + (-3) \leqslant 2 + (-3)$.
l'addition ne change pas l'ordre.

$-x \leqslant -1$.

Dernière modification par leo0 (14-06-2018 13:48:43)

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#21 14-06-2018 14:27:55

yoshi
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Re : Donner un encadrement de |a |

Re,

leo0 a écrit :

examinons deux cas selon le signe de x ...

nan !
Tu recommences  la même erreur.
Je t'ai écrit

tu as deux cas à étudier selon le signe de... x−3 et non le signe de x...

selon le signe de $(x-3)$ et non le signe de $x$
selon le signe de [tex]x-3[/tex] Pourquoi étudies-tu me signe de $x$ ?
La quantité dans la valeur absolue, c'est $x-3$, pas $x$
Les 2 cas à étudier sont donc
1. [tex]x-3\leqslant 0[/tex]  c'est à dire pour [tex]x\leqslant \cdots[/tex]
    Dans ce cas  [tex]x-3= \cdots[/tex]

2. [tex]x-3 \geqslant 0[/tex]  c'est à dire pour [tex]x\geqslant \cdots[/tex]
   Dans ce cas  [tex]x-3= \cdots[/tex]

Arrête-toi à la résolution des deux inéquations : je vais revenir...

Dans les deux cas, tu ne peux répondre qu'en remplaçant (c'est juste un remplacement !) la valeur absolue par une expression en fonction de x et 3...

@+


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#22 14-06-2018 15:25:23

leo0
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Re : Donner un encadrement de |a |

premier cas : $x - 3 \leqslant 0 \Leftrightarrow x - 3 + 3 \leqslant 0 + 3 \Leftrightarrow x \leqslant 3$


Dans ce cas $|x-3| \leqslant 2$ <=> $-(x-3) \leqslant 2 $ <=> $-x+3\leqslant2$ <=> $-x + 3 + (-3)  \leqslant 2 + (-3) $ <=> $-x \leqslant -1$.
Donc :

deuxième cas : $x - 3 \geqslant 0$ <=> $x - 3 + 3 \geqslant 0 +3$ <=> $x \geqslant 3$.

Dans ce cas $|x-3| \leqslant 2$ <=> $ x - 3 \leqslant 2$ <=> $x - 3 + 3 \leqslant 2 + 3 $<=> $x \leqslant 5$.

Or $x\geqslant 3$
Donc $3 \leqslant x\leqslant 5 $.

Dernière modification par leo0 (14-06-2018 15:33:01)

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#23 14-06-2018 15:53:39

yoshi
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Re : Donner un encadrement de |a |

Salut,

Tu es sur la bonne voie...

Mais :

premier cas : $x - 3 \leqslant 0 \Leftrightarrow x - 3 + 3 \leqslant 0 + 3 \Leftrightarrow x \leqslant 3$

Dans ce cas $|x-3| \leqslant 2$ <=> $-(x-3) \leqslant 2 $ <=> $-x+3\leqslant2$ <=> $-x + 3 + (-3)  \leqslant 2 + (-3) $ <=> $-x \leqslant -1$.
Donc :

Donc quoi ?
Il faut donner une suite à  $-x \leqslant -1$....
Puis penser que tu es dans le cas [tex] x\leqslant 3[/tex] pour obtenir un premier encadrement... comme tu m'a fait pour le cas n°2 puis créer la réunion des deux intervalles...

@+


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#24 14-06-2018 16:14:10

leo0
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Re : Donner un encadrement de |a |

Salut,

$-x + 3 + (-3) \leqslant 2 + (-3)$
l'addition conserve l'ordre
je n'ai pas soustrait, j'ai additionné (-3).

$-x \leqslant -1$
je ne peux pas avoir une inéquation du type : $- x\leqslant (??)$

pour cela, je change l'ordre de l'inégalité
$-x \leqslant -1 \Leftrightarrow x \geqslant -(-1) \Leftrightarrow x \geqslant 1$

Dernière modification par leo0 (14-06-2018 16:15:37)

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#25 14-06-2018 17:12:27

leo0
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Re : Donner un encadrement de |a |

$3 \leqslant 1\leqslant x \leqslant 3 \leqslant 5 $ => $1\leqslant x \leqslant 5$

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