Donner un encadrement de x²-4x et de (x-2)² - 4.

leo0 · 03-06-2018 10:30:00

Bonjour

Pouvez-vous m'aidez pour cet exercice? s'il vous plait

Soit x un réel de l'intervalle [-0,5;3]

1- Donner un encadrement de x² puis de x² - 4 x
2-a) Montrer que, pour tout x, x² - 4x = (x - 2)² - 4.
b) EN DÉDUIRE un deuxième encadrement de x² - 4x.

1- encadrement de x²
hypothèse : x est un réel de l'intervalle [-0,5;3]

si -0,5 < x < 3 alors l'encadrement de x² est : 0,25 < x² < 9

J'ai fermé mon intervalle en -0,5 et 3
donc : -0,5 $\leqslant x \leqslant 3$

2- a) montrer que pour tout x, x² - 4x = (x-2)² - 4
x² - 4x est le début d'une identité remarquable x² - 4x +(2)² = (x - 2)²

j'en déduis : x² - 4x = x² - 4x + 4 - 4 = (x - 2)² -4.

yoshi · 03-06-2018 13:44:56

Re,

[tex]si -0,5 < x < 3[/tex] alors l'encadrement de x² est : [tex]0,25 < x² < 9[/tex]

1. Non. Trace ta courbe [tex]y=x^2[/tex] et pour [tex]x \in [-0.5\,;\,3][/tex], vérifie donc si le minimum est bien 0.25...
2. Ce n'est pas [tex]-0,5 < x < 3[/tex], mais [tex]-0,5 \leqslant x \leqslant 3[/tex] qui est l'équivalent de [tex]x \in [-0.5\,;\,3][/tex]

Ensuite, comment comptes-tu t'y prendre pour encadrer [tex]x^2-4x[/tex] ? Rappel (je te l'ai dit dans l'autre fil, tu ne peux pas soustraire deux inégalités même si elles sont de même sens !)

@+

leo0 · 03-06-2018 14:21:39

Bonjour Yoshi et bon dimanche aussi

je te remercie pour m'avoir répondu

leo0 · 03-06-2018 14:22:45

$\begin{array}
{|c|cc|c|c|c|c|c|c|c|c|c|cc|}
x & & -0,5& -0,3 & -0,2 & -0,1 & 0 & 0,1 & 0,2 & 0,5 & 0,9 & 1,9 & 3
\\
f(x) & & 0,25 & 0,09& 0,04 & 0,01 & 0 & 0,1 & 0,04 & 0,25 & 0,81 & 3,61 & 9
\\
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
\end{array}$

en traçant la courbe, je m'aperçois que le minimum est 0 et pas 0,25

leo0 · 03-06-2018 14:29:08

je suis parti de l'inégalité $-0,5 \leqslant x\leqslant3$ puis j'ai élevé chaque membre de l'inégalité au carré
un peu sans réfléchir... mais cela me parait trop simple et ça ne correspond pas du tout avec la courbe que l'on a vu en cours
-----------------------------------------------------

Pour donner un encadrement de x² - 4 x
et bien, en ayant déjà un encadrement de x² , il suffit de trouver un encadrement de -4x et d'additionner les deux

x² - 4x = x² + (-4x)

yoshi · 03-06-2018 14:56:09

Salut,

en traçant la courbe, je m'aperçois que le minimum est 0 et pas 0,25

Donc, comment vas-tu procéder ?

Pour donner un encadrement de x² - 4 x
et bien, en ayant déjà un encadrement de x² , il suffit de trouver un encadrement de -4x et d'additionner les deux

Tout à fait...
Il n'y a plus qu'à passer à l'acte ! On dit souvent : c'est au pied du mur qu'on voit le maçon !

@+

leo0 · 03-06-2018 16:03:03

----------------------
$-0,5\leqslant x\leqslant3$

Pour l'encadrement de -4x, c'est à la deuxième ligne que je change le signe de l'inégalité, c'est à dire quand je multiplie par -4

$-4.(-0,5) \geqslant -4x \geqslant -4.(3)$

$2 \geqslant -4x \geqslant-12$

que je vais écrire : $-12 \leqslant -4x \leqslant 2$

Pour pouvoir additionner les deux encadrements, j'utilise la méthode utilisé dans la résolution d'équations à 2 inconnues

$0,25\leqslant x²\leqslant9$

$-12\leqslant - 4x\leqslant 2$

-------------------------------

$0,25 -12\leqslant x² - 4x \leqslant 9+2$

yoshi · 03-06-2018 17:29:16

Salut,

[tex]0,25 -12\leqslant x^2 - 4x \leqslant 9+2[/tex]

Oui et non...
Non, parce que je t'avais dit que 0,25 c'était incorrect et que tu ne l'as toujours pas corrigé...
Le corriger, ce n'est pas dire : je vois sur la courbe que... ou je vois avec un tableau de valeurs que..., ce ne serait pas accepté.

Oui, parce que c'est bien comme ça qu'il faut procéder...

@+

leo0 · 03-06-2018 17:29:33

J'ai pensé comparer deux images

[tex]f(x_1) = x_{1}² - 4x_{1}[/tex]
[tex]f(x_2) = x_{2}² - 4x_{2}[/tex]

[tex]f(x_{2}) - f(x_{1}) = x_{2}² - 4x_{2} - (x_{1}² - 4x_{1}) = x_{2}² - 4x_{2} - x_{1}² + 4x_{1}[/tex]
= [tex]x_{2}² - x_{1}² - 4x_{2} + 4x_{1}[/tex]
= [tex]x_{2}² - x_{1}² - 4 (x_{2} + x_{1})[/tex]

Factorisation
= [tex](x_{2} + x_{1}) ( x_{2} - x_{1}) - 4 (x_{2} + x_{1})[/tex]
Mise en facteur
=[tex](x_{2} + x_{1}) [(x_{2}-x_{1}) - 4 ]
[/tex]

mais arrivé là, il faut partir de [tex]x_{1}<x_{2}[/tex] et montrer que [tex]f(x_{1}) < f(x_{2}) [/tex] ou [tex]f(x_{1})>f(x_{2})[/tex]
pour en déduire un encadrement
je vois pas comment poursuivre mon idée ...

yoshi · 03-06-2018 17:38:10

Re,

Tout ça pour arriver à quoi ?

pour en déduire un encadrement

Un encadrement de qui ? de [tex](x-2)^2-4[/tex] ?
T'as pas l'impression que c'est comme si, voyant un moustique sur le mur de ta chambre, tu allais emprunter une grosse plaque de bois pour lui taper dessus ?
Pourquoi ne pas essayer beaucoup plus simple en restant dans la la manipulation des inégalités ?
Avec ce plan :
Encadrement de $x$ --> Encadrement de $x-2$ ---> encadrement de $(x-2)^2$ ---> Encadrement de $(x-2)^2-4$

@+

leo0 · 03-06-2018 17:53:14

c'est pour appliquer la méthode du cours, je pensais qu'il fallait utiliser cette méthode, en fait on n'utilise pas un bazooka pour tuer un moustique..

je reviens à ce que tu m'as demandé de faire pour la 1)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L'encadrement de x² est $0\leqslant x²\leqslant9$, comme je sais que x² - 4x = x² + (-4x); il suffit de trouver un encadrement de -4x et d'additionner les2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

je réécris l'encadrement de -4x

$-0,5 \leqslant x\leqslant3$

$2\geqslant-4x\geqslant-12$

Pour pouvoir les additionner, je vais les mettre l'une en dessous de l'autre (même méthode que pour les systèmes d'équations à 2 inconnues)

$0\leqslant x²\leqslant9$

$-12\leqslant-4x\leqslant2$

-----------------
$-12\leqslant x²-4x\leqslant11$

mais, j'ai toujours un problème de raisonnement pour l'encadrement de x², en effet, je le vois avec les valeurs du tableau que le minimumest0
par l'algèbre, je passe de $-0,5\leqslant x\leqslant3$ à $0,25\leqslant x²\leqslant 9$ en élevant les membres de l'inégalité au carré et c'est pour cela que je me trompe souvent en DS

Dernière modification par leo0 (03-06-2018 17:56:37)

leo0 · 03-06-2018 18:06:05

Encadrement de $x$ - - > encadrement de $x - 2$ - - > encadrement de $(x- 2)²$

$-0,5 \leqslant x \leqslant 3$

$-2,5 \leqslant x-2\leqslant 1$

$(-2,5)² \leqslant (x-2)²\leqslant(1)²$

$5 \geqslant (x-2)²\geqslant 1$

$5 - 4 \geqslant(x-2)² - 4 \geqslant 1 -4$

$1 \geqslant (x-2)² - 4 \geqslant -3$

ça correspond à ce que j'ai sur Géogebra, en tapant y = x²-4x dans la barre de saisie

par contre, là où je rame toujours c'est pour l'encadrement de x²
encadrement de $x$ - - > encadrement de $x² $

leo0 · 03-06-2018 18:08:30

encadrement de $x$ - - > encadrement de $x²$

$-0,5 \leqslant x \leqslant 3$ - -- - > $0,25 \leqslant x² \leqslant 9$

et c'est pas bon ......

yoshi · 03-06-2018 18:24:54

Re,

ça correspond à ce que j'ai sur Géogebra, en tapant y = x²-4x dans la barre de saisie

Là, je crois que tu as un problème...
Tu remplaces [tex](-2,5)^2[/tex] par $5$ sans sursauter ???? Relis-toi !

Pour encadrer $x^2$ je procéderais ainsi, vois-tu pourquoi ?
[tex]-0,5\leqslant x \leqslant 3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\begin{cases}-0,5&\leqslant x \leqslant 0\\0&\leqslant x \leqslant 3\end{cases}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{cases}0&\leqslant x^2 \leqslant 0,25\\0&\leqslant x^2 \leqslant 9\end{cases}[/tex]
D'où
[tex]0\leqslant x^2 \leqslant 9[/tex]

Et tu auras le même souci avec l'encadrement de [tex](x-2)^2[/tex]...

@+

leo0 · 03-06-2018 19:29:15

encadrement de $ x$ - - > encadrement de $x²$

$-0,5 \leqslant x \leqslant 0$ - - > $0,25 \geqslant x² \geqslant 0 $ - - > $0 \leqslant x² \leqslant 0,25$

$0 \leqslant x \leqslant 3$ - - > $0 \leqslant x² \leqslant 9$

encadrement de $x$ - - > encadrement de $x - 2$ - - > encadrement de $(x - 2)²$ - - > encadrement de $(x-2)² - 4$

$-0,5 \leqslant x \leqslant 2$ - - > $- 2,5 \leqslant x - 2 \leqslant 0$ - - > $(-2,5)² \geqslant(x-2)² \geqslant (0)²$ - - > $ 6,25 - 4 \geqslant(x-2)² - 4 \geqslant -4$

encadrement de $x$ - - > encadrement de $x - 2$ - - > encadrement de $(x-2)²$ - - > encadrement de $(x-2)² - 4$

$2 \leqslant x \leqslant 3 $ - - - > $0 \leqslant x - 2 \leqslant 3 -2$ - - - - > $0 \leqslant(x-2)² \leqslant (1)² $ - - > $-4 \leqslant (x-2)² - 4 \leqslant - 3$

Dernière modification par leo0 (03-06-2018 19:31:29)

yoshi · 03-06-2018 20:25:59

Bonsoir,

$2 \leqslant x \leqslant 3 $ - - - > $0 \leqslant x - 2 \leqslant 3 -2$ - - - - > $0 \leqslant(x-2)² \leqslant (1)² $ - - > $-4 \leqslant (x-2)² - 4 \leqslant - 3$

Ça, non ! La série d'avant, oui. Je récris ce que tu as fait
$-0,5\leqslant x \leqslant 3$
Donc
[tex]-0,5-2\leqslant x-2 \leqslant 3-2[/tex]
soit
[tex]-2,5\leqslant x-2 \leqslant 1[/tex]

Et maintenant, on étudie les 2 cas :
* Si [tex]-2,5\leqslant x-2\leqslant 0[/tex] alors [tex]0\leqslant (x-2)^2 \leqslant 6,25[/tex] (fonction carré décroissante)
* Si [tex]0\leqslant x-2\leqslant 1[/tex] alors [tex]0\leqslant (x-2)^2 \leqslant 1[/tex] (fonction carré croissante)

Donc
[tex]0\leqslant (x-2)^2 \leqslant 6,25[/tex]
et tu continues...

-----------------------------------------------

Encadrement de [tex]x^2-4x [/tex] correct.

@+

Dernière modification par yoshi (04-06-2018 07:23:09)

leo0 · 06-06-2018 20:51:48

Bonsoir Yoshi,

Pour donner un encadrement de x². Tu as procéder ainsi

$-0,5 < x < 3$

$\left\lbrace\begin{matrix}
&-0,5\leqslant x\leqslant0 & \\
&0\leqslant x\leqslant3 &
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$

$\left\lbrace\begin{matrix}
& 0\leqslant x² \leqslant0,25 & \\
& 0\leqslant x² \leqslant9 &
\end{matrix}\right.$

et on a : $0\leqslant x² \leqslant9$

en fait , tu as mis au message 10
Encadrement de $x$ - - > encadrement de $x - 2$ - - > encadrement de $(x - 2)²$ - - > encadrement de $(x - 2)² - 4$

sur le même modèle, j'ai préféré écrire :

$- 0,5 \leqslant x \leqslant 0$ - - > $0,25 \geqslant x² \geqslant 0$

$0 \leqslant x \leqslant 3 $ - - > $0 \leqslant x² \leqslant 9$

yoshi · 06-06-2018 21:15:55

Re,

Bof, si tu y tiens...
Il n'y a là rien de bien fondamental, sauf que quand j'ai écrit :

Encadrement de x - - > encadrement de x−2 - - > encadrement de (x−2)² - - > encadrement de (x−2)²−4

ça ne se voulait pas être un modèle (loin de là) mais une description des étapes à observer, parce qu'il vaut mieux prendre l'habitude de ne traiter qu'une étape par ligne. En fait, je me dis que je n'aurais pas dû présenter le plan sur une ligne, mais plutôt en colonne parce que
* c'est plus lisible
* ça n'incite pas à prendre de mauvaises habitudes...

Très important est que tu saches expliquer, si on te pose la question (et même si on ne te la pose pas), pourquoi avant d'utiliser la fonction carré j'ai coupé l'inégalité [tex]-0,5\leqslant x \leqslant 3[/tex] en deux parties : [tex]-0,5\leqslant x \leqslant 0[/tex] et [tex]0\leqslant x \leqslant 3[/tex]

Et la justification n'est pas : parce que j'ai vu qu'autrement, il y avait un problème... Ça, ce serait plutôt le symptôme qui t'aurait alerté et pas une explication.

@+

leo0 · 06-06-2018 21:26:14

T'as été vite pour répondre.. je pensais pas que tu étais là et j'avais pas fini d'écrire mon message

je voulais dire que dans mon message de 18 h 29

et bien, je fais pareil pour obtenir un deuxième encadrement de x² - 4x, j'utilise la même méthode, voilà.. c'est ce que je voulais expliquer

(x - 2)² - 4
l'abscisse du sommet est 2, d'après le cours $\beta$ est l'abscisse du sommet et $\alpha$ est l'ordonnée.

donc, j'ai ça :
$\left\lbrace\begin{matrix}
& -0.5\leqslant x \leqslant 2& \\
& 2\leqslant x \leqslant 3 &
\end{matrix}\right.$

et là, je reprends ta méthode :
Encadrement de x - - > Encadrement de x - 2 - - > Encadrement de (x - 2)² - - > etc...

$-0,5 \leqslant x\leqslant 2 $ - - > $-0,5 - 2 \leqslant x - 2 \leqslant 2 - 2$ - - > $-2,5 \leqslant x - 2\leqslant 0$ - - > $(-2,5)² \geqslant (x - 2)² \geqslant 0$ - - > $6,25 - 4 \geqslant (x - 2)² - 4 \geqslant -4$

$2\leqslant x\leqslant 3$ - - > $2 - 2\leqslant x - 2 \leqslant 3 - 2$ - - > $ 0\leqslant(x - 2)² \leqslant (1)²$ - - > $- 4 \leqslant(x - 2)² - 4\leqslant 1 - 4$

Dernière modification par leo0 (06-06-2018 21:28:30)

leo0 · 06-06-2018 21:33:57

j'obtiens $2,25 \leqslant (x-2)² - 4 \leqslant -4$ pour la première ligne

et pour la deuxième ligne, (la deuxième série ) $-4 \leqslant (x - 2)² - 4 \leqslant 3$

j'ai tracé l'image de 3 , c'est bien -3
et l'image de 2 est -4
l'encadrement me parait bon ???

yoshi · 07-06-2018 12:26:15

Bonjour,

Rapidement, parce qu'il faut vraiment que je finisse la rédaction de ma revue...

j'obtiens $2,25 \leqslant (x-2)² - 4 \leqslant -4$ pour la première ligne

Tu es inattentif...
Ce que tu écris ne te choque pas ?
Laisse moi simplifier et ça va te sauter aux yeux :

leo0 a écrit :

j'obtiens $2,25... \leqslant -4$ pour la première ligne.

Et si ta 2e ligne est bien $0 \leqslant (x-2)²\leqslant 1$
alors :
[tex]-4 \leqslant (x - 2)² - 4 \leqslant 3[/tex] est également incorrect...
--------------------------------------------------------------------------
Je t'ai écrit que ma présentation était celle d'un plan, pas d'une démonstration et je ne sais pas ce que tu appelles 2e ligne...
Moi je fais :
[tex]-0,5\leqslant x\leqslant 3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]-2,5\leqslant x-2\leqslant 1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\begin{cases}-2,5\leqslant x-2\leqslant 0\\0\leqslant x-2\leqslant 1\end{cases}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex]
Application de la fonction carré
[tex]\begin{cases}0\leqslant (x-2)^2\leqslant 6,25\\0\leqslant (x-2)^2\leqslant 1\end{cases}[/tex]
Ce qui se résume à :
[tex]0\leqslant (x-2)^2\leqslant 6,25[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]-4\leqslant (x-2)^2-4\leqslant 2,25[/tex]

Ton 1er encadrement aurait pu être juste, malheureusement, tu as écrit une horreur...

-----------------------------------------------------------------

On peut traiter aussi un encadrement après l'autre :
[tex]-0,5\leqslant x\leqslant 3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]-2,5\leqslant x-2\leqslant 1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
On distingue 2 cas : ----------------------> Je t'ai dit que tu devais savoir expliquer pourquoi. C'est le cas ?
[tex]-2,5\leqslant x-2\leqslant 0[/tex] et [tex]0\leqslant x-2\leqslant 1[/tex]
1) Cas où [tex]-2,5\leqslant x-2\leqslant 0[/tex]
On a alors
[tex]0\leqslant (x-2)^2\leqslant 6,25[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]-4\leqslant (x-2)^2-4\leqslant 2,25[/tex]

2) Cas où [tex]0\leqslant x-2\leqslant 1[/tex]
[tex]0\leqslant (x-2)^2\leqslant 1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]-4\leqslant (x-2)^2-4\leqslant -3[/tex]
-----------------------------
Réponse.
Le nouvel encadrement est : [tex]-4\leqslant (x-2)^2-4\leqslant 2,25[/tex]

@+

leo0 · 07-06-2018 17:18:12

Bonjour Yoshi

Hier, j'étais fatigué et j'ai voulu écrire le message un peu rapidement..

Bin, oui écrire : $-4 \leqslant (x - 2)² - 4 \leqslant 3$ est incorrect

également :$2,25\leqslant(x - 2)² - 4\leqslant -4$

Toutes mes excuses ..``

Par contre, si tu relis le message de 20 h 26 ( c'est à dire le message 19)

et bien , j'ai bien trouvé $6,25 - 4 \geqslant (x - 2)² - 4 \geqslant -4$

puis, j'ai séparé l'encadrement pour écrire une 2e ligne :
et j'ai trouvé $- 4 \leqslant(x - 2)² - 4\leqslant 1 - 4$ que je n'ai pas simplifié et en simplifiant : $- 4 \leqslant(x - 2)² - 4\leqslant -3$

donc j'ai bon ??
non ??

yoshi · 07-06-2018 17:36:18

Re,

Post #21, Yoshi a écrit :

Réponse.
Le nouvel encadrement est : [tex]-4\leqslant (x-2)^2-4\leqslant 2,25[/tex]

obtenu par "réunion" des deux inégalités :
[tex]-4\leqslant (x-2)^2-4\leqslant 2,25[/tex]
et
[tex]-4\leqslant (x-2)^2-4\leqslant-3[/tex]
cf post#21, encore.

@+

[EDIT]
Je pourrais noter (il ne faut pas l'écrire, hein ! C'est juste pour toi, pour que tu voies qu'en Maths, il existe des passerelles) :
Soit [tex] Y=(x-2)^2-4[/tex]
alors
je pourrais écrire [tex]Y \in[-4\,;\,2,25]\cup[-4\,;\,-3][/tex]
soit
[tex]Y \in[-4\,;\,2,25][/tex]

Voilà pour quoi j'ai employé le mot réunion, mais entre guillemets....

Dernière modification par yoshi (07-06-2018 17:54:58)

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#1 03-06-2018 10:30:00

Donner un encadrement de x²-4x et de (x-2)² - 4.

#2 03-06-2018 13:44:56

Re : Donner un encadrement de x²-4x et de (x-2)² - 4.

#3 03-06-2018 14:21:39

Re : Donner un encadrement de x²-4x et de (x-2)² - 4.

#4 03-06-2018 14:22:45

Re : Donner un encadrement de x²-4x et de (x-2)² - 4.

#5 03-06-2018 14:29:08

Re : Donner un encadrement de x²-4x et de (x-2)² - 4.

#6 03-06-2018 14:56:09

Re : Donner un encadrement de x²-4x et de (x-2)² - 4.

#7 03-06-2018 16:03:03

Re : Donner un encadrement de x²-4x et de (x-2)² - 4.

#8 03-06-2018 17:29:16

Re : Donner un encadrement de x²-4x et de (x-2)² - 4.

#9 03-06-2018 17:29:33

Re : Donner un encadrement de x²-4x et de (x-2)² - 4.

#10 03-06-2018 17:38:10

Re : Donner un encadrement de x²-4x et de (x-2)² - 4.

#11 03-06-2018 17:53:14

Re : Donner un encadrement de x²-4x et de (x-2)² - 4.

#12 03-06-2018 18:06:05

Re : Donner un encadrement de x²-4x et de (x-2)² - 4.

#13 03-06-2018 18:08:30

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#14 03-06-2018 18:24:54

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#15 03-06-2018 19:29:15

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#16 03-06-2018 20:25:59

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#17 06-06-2018 20:51:48

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#18 06-06-2018 21:15:55

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#19 06-06-2018 21:26:14

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#22 07-06-2018 17:18:12

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#23 07-06-2018 17:36:18

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