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#1 24-05-2018 11:43:19

Sidonay
Invité

Cercle inscrit dans triangle rectangle : Calcul CO

Bonjour,
Je suis à la recherche d'une formule me permettant de résoudre le problème suivant :

J'ai un cercle inscrit dans un triangle rectangle, les seules donnée que je possède c'est le rayon du cercle et le fait que mon triangle rectangle est rectangle en C. Avec ces données je souhaiterais calculé mon segment CO (Voir illustration).

Cercle inscrit

Quelqu'un aurait-il une solution ?

#2 24-05-2018 11:57:23

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 839

Re : Cercle inscrit dans triangle rectangle : Calcul CO

Bonjour,

Plus qu'une idée : une certitude...
Je nomme deux des points  :  D sur [CA] et E sur [CB].
ODCE est donc un carré et ODC, un triangle rectangle et isocèle en D.
Il y a cette formule simple, que les matheux connaissent par cœur : [tex]OC = r\sqrt 2[/tex]
(Au cas où : c'est l'écriture contractée de [tex]r\times \sqrt 2[/tex])
Si on ne connait pas la formule, on la retrouve avec le théorème de Pythagore :
[tex]OC^2=CD^2+DO^2[/tex]
ou encore :
[tex]OC^2=r^2+r^2=2r^2[/tex]
D'où [tex]OC = r\sqrt 2[/tex]

Ça te va ?

@+


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#3 24-05-2018 15:27:17

Sidonay
Invité

Re : Cercle inscrit dans triangle rectangle : Calcul CO

Bonjour Yoshi,
Merci beaucoup pour cette réponse rapide et précise. J'aurai vraiment besoin de cours...

#4 24-05-2018 16:15:04

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 839

Re : Cercle inscrit dans triangle rectangle : Calcul CO

Re,

Derien...
Bah... C'est en forgeant qu'on devient forgeron (et même, il paraît que c'est en sciant que Léonard de Vinci... ^_^).

Donc, reviens et questionne !

Au fait,[tex] r=\dfrac1 2(a+b+c)[/tex], vraiment ?
Comme je suis d'un naturel fainéant, je te renvoie à cette lecture (1er exo) qui devrait te faire sursauter :
https://le-castillon.etab.ac-caen.fr/IM … tangle.pdf
Si on prend le plus petit des triangles rectangles avec a,b,c entiers (le célèbre (3,4,5), le rayon est 1 (facile à prouver via la trigo), or [tex]\dfrac1 2(3+4+5)=6[/tex]
Tu vois ce que je veux dire ?

@+

Dernière modification par yoshi (24-05-2018 16:20:00)


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#5 24-05-2018 17:09:43

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 839

Re : Cercle inscrit dans triangle rectangle : Calcul CO

Re,

Ma démo trigo pour r=1 si a =3, b=4, c=5...

[tex]\cos\hat B=\dfrac{AC}{BA}=\dfrac 3 5[/tex]

Avec [tex]\cos\hat B=2\cos^2 \dfrac{\hat B}{2}-1[/tex]
Soit
[tex]2\cos^2 \dfrac{\hat B}{2}-1=\dfrac 3 5\;\Leftrightarrow\;\cos^2 \dfrac{\hat B}{2}=\dfrac 4 5[/tex], d'où [tex]\cos \dfrac{\hat B}{2}=\dfrac{2\sqrt 5}{5}[/tex]

Avec [tex]\sin^2 \dfrac{\hat B}{2}+\cos^2 \dfrac{\hat B}{2}=1[/tex] je déduis que [tex]\sin \dfrac{\hat B}{2}=\dfrac{\sqrt 5}{5}[/tex]

D'où [tex]\tan \dfrac{\hat B}{2}=\dfrac 1 2[/tex]
Je trace [OB]
Dans le triangle BEO rectangle en E, on a : [tex]\widehat{EBO}=\dfrac{\hat B}{2}[/tex]
D'où
[tex]\tan \dfrac{\hat B}{2}=\dfrac{OE}{BE}=\dfrac 1 2[/tex]
Donc [tex]\dfrac {r}{3-r} =\dfrac 1 2[/tex]
et :
[tex]2r=3-r \;\Leftrightarrow 3r=3[/tex] et r=1.

Il y a d'autre méthodes pour calculer la tangente (et calculer r avec 3,4,5)...
J'ai voulu faire appel en trigo au minimum de formules...

@+


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