résolution algébrique avec ⍺ qui me pose problème

yoshi · 23-05-2018 18:23:03

Re,

ce que je veux dire : si le premier facteur de ce produit est positif : si a > 0
et bien f(x2)−f(x1) a même signe que (x2+x1−2α)(x2−x1)
Ai- je le droit de dire ça ?

Oui, bien sûr (c'est même une évidence) tout coimme :

si le premier facteur de ce produit est négatif : si < > 0
et bien f(x2)−f(x1) est du signe opposé à [tex](x_2+x_1−2\alpha)(x_2−x_1)[/tex]

Donc nous sommes dans le cas où a<0, quel est le signe
de [tex](x_2+x_1−2\alpha)[/tex] ?
de [tex](x_2−x_1)[/tex] ?
de [tex](x_2+x_1−2\alpha)(x_2−x_1)[/tex] ?
de [tex]a(x_2+x_1−2\alpha)(x_2−x_1)[/tex] donc de [tex]f(x_2)-f(x_1)[/tex]?
Lorsque a <0, f est-elle croissante ou décroissante et pourquoi ?

@+

leo0 · 23-05-2018 19:18:58

pour le signe de $(x_{2} + x_{1} - 2 \alpha)$

hypothèse : $x_{1} < x_{2}\leqslant\frac{-b}{2a} $

donc $x_{1}<\frac{-b}{2a}$ et $x_{2}\leqslant\frac{-b}{2a}$

leo0 · 23-05-2018 19:20:01

si j'additionne deux nombres négatifs : forcément je vais obtenir un résultat inférieur à 0

yoshi · 23-05-2018 19:56:15

Bonsoir,

pour le signe de $(x_{2} + x_{1} - 2 \alpha)$
si j'additionne deux nombres négatifs : forcément je vais obtenir un résultat inférieur à 0

Oui, mais tu réponds à côté : où as-tu vu que $x_1$ et $x_2$ sont négatifs ? ils peuvent aussi être positifs...
Tu confonds peut-être $a$ et $\alpha$ ?
Dans l'énoncé, tu lis :

1. Cas ou [tex]a<0[/tex]

Tu sais que [tex]\alpha=-\dfrac{b}{2a}[/tex]
Ici [tex]a<0[/tex], donc [tex]\alpha[/tex] a le même signe que b...
Qu'est-ce que tu sais sur b à propos de son signe ? Rien du tout...
Donc, même si on connaît le signe de a, on ignore celui de [tex]\alpha[/tex] et on n'en a pas besoin...

J'ai écrit :
L'énoncé t'a dit de choisir [tex]x_1<x_2\leqslant\alpha[/tex] donc tu sais que

[tex] \begin{cases}x_1&<\alpha\\x_2&\leqslant\alpha\end{cases}[/tex]
Qu'en conclus-tu pour [tex]x_1+x_2[/tex] ?
Puis pour [tex]x_1+x_2-2\alpha[/tex] ?

Qu'en conclus-tu pour [tex]x_1+x_2[/tex] ?
La réponse attendue n'est pas <0 ou >0 puisqu'on ne peut pas le savoir...
Par contre tu dois déduire laquelle des deux propositions [tex]x_1+x_2<2\alpha[/tex] ou [tex] x_1+x_2>2\alpha[/tex] est vraie et pourquoi...
Ensuite tu trouveras le signe de [tex]x_1+x_2-2\alpha[/tex]

@+

leo0 · 23-05-2018 20:17:15

Bonsoir,

a est négatif

$\alpha=\frac{-b}{2a}$
en remplaçant $a$ par $-a$

$\alpha= \frac{-b}{2.(-a)}= \frac{-b}{-2a}=\frac{b}{2a}$

leo0 · 23-05-2018 20:38:07

a < 0 donc $\alpha$ a le même signe que b (je cherche...)

$\alpha=-\frac{b}{2a}$ et là je remplace a par a < 0

j'obtiens $\alpha =-\frac{b}{2.(-a)}= -\frac{b}{-2.a}$

leo0 · 23-05-2018 20:42:51

je comprends pas pourquoi : si a <0, donc $\alpha$ a le même signe que b

tout ce que trouve en remplaçant $a<0$ dans $\alpha=-\frac{b}{2a}$

c'est $-\frac{b}{2.(-a)}$

yoshi · 23-05-2018 21:08:03

RE,

$\alpha=-\frac{b}{2a}$ que tu peux écrire $\alpha=\frac{b}{2(-a)}$ et non $\alpha=-\frac{b}{2(-a)}$ le premier - est de trop !
Donc, puisque a<0 alors [tex] -a>0[/tex]

Et -2a >0, d'où :
si b >0 alors +/+ = +
si b<0 alors -/+ = -

C'est ok ?

@+ (demain)

yoshi · 24-05-2018 10:07:59

Bonjour,

je te félicite de vouloir chercher à tout comprendre.
Cela dit, il ne faudrait pas te noyer dans les détails.

Je résume la situation...
[tex] - 1 -[/tex]
J'ai écrit :

Nous sommes dans le cas où a<0.
Quel est le signe
a) de [tex](x_2+x_1−2\alpha)[/tex] ?
b) de [tex](x_2−x_1) ?[/tex]
c) de [tex](x_2+x_1−2\alpha)(x_2−x_1)[/tex] ?
f) de [tex]a(x_2+x_1−2\alpha) (x_2−x_1)[/tex] donc de [tex]f(x_2)−f(x_1)[/tex] ?
Lorsque a <0, f est-elle croissante ou décroissante et pourquoi ?

- 2 -
Tu m'as répondu

si j'additionne deux nombres négatifs : forcément je vais obtenir un résultat inférieur à 0

Alors, je t'ai fait remarquer que :
* tu sais seulement que [tex]\alpha=-\dfrac{b}{2a}[/tex] et que tu ne peux pas connaître le signe de [tex]\alpha[/tex] (et j'ajoute : on s'en fiche, on n'en a pas besoin) parce que tu ne sais rien du signe de b (et que avec [tex]a<0[/tex], [tex] \alpha[/tex] est du signe de b preuve post #33)...
* ne connaissant pas le signe de [tex]\alpha[/tex], tu ne connais pas connaître le signe de $x_1$ et $x_2$ (et j'ajoute : on s'en fiche, on n'en a pas besoin)

-3 -
Donc on cherche toujours à connaitre le signe $x_1+x_2-2\alpha$
Comment peut-on le savoir ?
Parce que tu sais que
[tex]x_1<\alpha[/tex] donc que [tex]x_1-\alpha\;..?..\;0[/tex] (> ou < ? choisis la bonne réponse)
[tex]x_2\leqslant\alpha[/tex] donc que [tex]x_2-\alpha\;..?..\;0[/tex] ($\geqslant$ ou \leqslant ? choisis la bonne réponse)
Sachant que
[tex]\begin{cases}x_1-\alpha ... 0\\x_2-\alpha\; ...\; 0\end{cases}[/tex]
tu dois pouvoir compléter (avec < ou > ):
[tex]x_1+x_2-2\alpha\; ....\; 0[/tex]
Et tu auras le signe demandé...

- 4 -
Signe de [tex]x_2-x_1[/tex] ?
Tu trouves la réponse avec l'énoncé qui te dit :
[tex]x_1<x_2\leqslant \alpha[/tex] Là tu n'as besoin que de la partie [tex]x_1<x_2[/tex] pour trouver le signe demandé...

- 5 -
Tu sais que :
[tex]a < 0[/tex]
$x_1+x_2-2\alpha\;..?..\;0$
$x_2-x_1\;..?..\;0$
Quel est donc le signe de a(x_1+x_2-2\alpha)(x_2-x_1)
Tu as donc trouvé maintenant le signe de [tex]f(x_2)-f(x_1)[/tex]...

[tex] - 6 -[/tex]
Complète alors [tex] f(x_2)\;..?..\;f(x_1)[/tex] (Utilise < ou >. Choisis la bonne réponse...
Sachant que tu es partie de [tex]x_1<x_2[/tex], tu peux maintenant répondre à la question :
pour a <0 et quel que soit [tex]x \in ]-\infty\,;\;\alpha][/tex] f est-elle croissante ou décroissante ?

@+

leo0 · 25-05-2018 11:37:18

$x_{1}<\alpha$ donc que $x_{1}-\alpha\;..?..\;0$

difficulté de compréhension avec <

yoshi · 25-05-2018 13:40:40

Re,

Quelle difficulté de compréhension ?
Oui, bien sûr sûr [tex]x_1<\alpha\;\Leftrightarrow\;x_1-\alpha <0[/tex]...
Il me semble que tu es fâchée avec le travail sur les inéquations...
Je vais tâcher de te faire un résumé des années précédentes, en essayant de ne pas te saoûler...Prenons un exemple numérique.
Suppose que [tex]\alpha=2[/tex], tu as donc[tex] x_1 <2[/tex].
Si tu soustrais 2 à n'importe que nombre inférieur à 2, le résultat sera négatif...
Regarde : 1,5 - 2 = -0,5 ; 0,3 - 2 = -1,7 ; -1 - 2 = -3.... je peux continuer longtemps...

En classe de 4e (ne le prends pas mal !) tu as commencé à jouer avec les inégalités...
Tu y as notamment appris que, quels que soient a et b, si tu as
$x < a$ alors $x+b < a+b$ mais aussi $x-b < a-b$
Un exemple concret.
Tu montes les marches de l'escalier de la Tour Eiffel...
Tu as monté un nombre de marches désigné par a, derrière toi, figure quelqu'un qui a monté x marches: Tu as donc [tex]x < a[/tex].
Mais cette personne derrière toi est agaçante, elle a décidé de te copier : tu montes ? elle monte. Tu descends ? Elle descend ! Et le même nombre de marches...

Tu montes de b marches ? Tu as monté en tout a+b marches...
Ton suiveur a aussi monté de b marches, il en est à x+b marches montées et on a [tex]x+b<a+b[/tex] l'écart n'a pas changé... Normal ! D'accord ?
Tu descends de b marches ? Tu as monté en en fait a-b marches...
Ton suiveur a aussi descendu b marches, il en est à x-b marches montées et on a [tex]x-b<a-b[/tex] l'écart n'a pas changé... Normal ! D'accord ?

Et on vous avait dit qu'on pouvait additionner ou soustraire un même aux deux membres d'une inégalité sans changer cette inégalité (plus correct est de dire que l'addition conserve l'ordre, mais moins "parlant").
Là tu passes donc de [tex]x_1<\alpha[/tex] à [tex]x_1-\alpha <\alpha -\alpha[/tex], c'est à dire à [tex]x_1-\alpha<0[/tex]

Note bien que tu as déjà vu (et appliqué) ça dans les équations.
Au départ, on t'a montré que de [tex]2x =x+3[/tex], tu passes à [tex]2x-x=x+3-x[/tex] puis à [tex]2x-x = 3[/tex].
Enfin on t'a dit que tu pouvais passer directement de [tex]2x =x+3[/tex] à [tex]2x-x = 3[/tex], en changeant un terme de membre ç condition de changer son signe...
C'est la même méthode qui est appliquée quand tu passes de [tex]x <\alpha[/tex] à [tex]x-\alpha<0[/tex]
Tu empruntes un raccourci (tu sautes en fait une étape, et ce tellement de fois, qu'on finit par oublier ce qui se passe réellement).

Ensuite lorsque tu as [tex]\begin{cases}x_1-\alpha &<0\\x_2-\alpha &<0\end{cases}[/tex]
L'idée à appliquer est celle utilisée dans les systèmes de 2 équations à 2 inconnues, quand tu additionnes les égalités membre à membre...
Mais quand il s'agit d'inéquations ou inégalités), c'est plus restrictif :
on a le droit d'additionner (et pas de soustraire) membre à membre deux inégalités de même sens et on obtient une inégalité de même sens.

(Pourquoi, pas soustraire? parce qu'il y a des situations où c'est faux [tex]\begin{cases}6&<8\\5&<7\end{cases}[/tex].
En effet, si tu soustrais, tu écris 6 - 1 < 8 -7 soit 5 < 1 qui est une énormité...)

Donc, revenons à nos moutons...
[tex]\begin{cases}x_1-\alpha &<0\\x_2-\alpha &<0\end{cases}[/tex] J'additionne les 2 inéquations membre à membre (je vais le faire colonne par colonne) :
[tex]x_1+x_2-\alpha-\alpha<0+0[/tex] soit [tex]x_1+x_2-2\alpha<0+0[/tex]

@+

[EDIT] Faute de frappe corrigée à la demande de leo0... C'est fait, en rouge

Dernière modification par yoshi (30-05-2018 14:49:36)

leo0 · 25-05-2018 14:55:34

oui, tu as vu juste .... difficulté qui remonte à la classe de quatrième...
tu dit : tu es fâchée avec le travail sur les inéquations...
je suis pas une fille, léo ( c'est garçon) en fait je voulais mettre mon prénom( léo) et comme il y avait déjà un léo et bien j'ai ajouté un 0
mon professeur a dit que le premier chiffre c'est 0, 0 c'est aussi un chiffre...

leo0 · 25-05-2018 15:17:57

$2x = x + 3$
j'écris tout de suite
$x = 3$
et si mon professeur exige de commenter, par exemple, dans cette situation : je suis envoyé au tableau, dis-moi : " pourquoi as-tu fait passé le $x$ qui est après le signe égal à gauche ? "
ma réponse, je regroupe les $x$ avec les $x$
et $2 x = x * x$ alors le chiffre $2$ je peux pas le faire passer à droite du signe égal

leo0 · 25-05-2018 15:19:11

mais je pense pas à écrire ça:

$2x = x + 3$

$2x$ - $x $ = $x + 3 $ - $x$

yoshi · 25-05-2018 17:15:51

Bonsoir,

J'ai écrit au féminin parce que l'adresse mail utilisée pour t'inscrire ici comporte un prénom... féminin.

pourquoi as-tu "fait passer le $x$ qui est après le signe égal à gauche ? "
ma réponse, je regroupe les $x$ avec les $x$
et $2 x = x * x$ alors le chiffre $2$ je peux pas le faire passer à droite du signe égal

Alors moi, après ta réponse "je regroupe les $x$ avec les $x$", je te demanderais :
et quelle règle te permet-elle de faire ça ?
Parce que ta réponse n'en est pas une, c'est juste de la paraphrase, ou si tu préfères décrire ce que tu fais en employant des mots...
Et une description n'est pas une explication...
Que me répondrais-tu ? J'sais pas, on m'a dit de faire comme ça, donc je fais comme ça...

Bien sûr que tu ne va pas tout expliquer de A à Z... Je t'ai simplement expliqué ce qui se passe réellement
Je t'ai dit aussi que beaucoup l'oublient : tu as toi aussi oublié, c'est pourtant bien comme ça qu'on te l'a expliqué en 5e, avant de te donner cette règle qui n'en est pas une : on a le droit de changer un terme de membre à condition de changer son signe.
Ce n'est pas une règle, mais une "recette de cuisine" et les maths, ce n'est pas un empilement de méthodes qui sortent d'on ne sait où...
Quand tu écris :

[tex]2x=x∗x[/tex]

tu es sérieux ? Parce que c'est une énormité... [tex]2x =2\times x[/tex] et aussi [tex]2x = x+x[/tex]
[tex]x\times x = x^2[/tex] !!!!

alors le chiffre 2

Ton professeur de 6e a dû t'expliquer qu'il ne faut pas confondre permettent d'écrire n'importe quel nombre.
Parce qu'il y a une autre façon d'écrire les nombres, en utilisant d'autres "dessins" qui s'appellent des... lettres.
Ici le 2 est un nombre, pas un chiffre, sinon pas de calcul...
Mais qui sont inadaptés au calcul...

alors le chiffre 2 je peux pas le faire passer à droite du signe égal

Ça veut dire quoi faire passer à droite du signe = ? C'est très imprécis, la preuve :
[tex]2x = 4\quad\Leftrightarrow\quad x =\dfrac 4 2[/tex]
Le 2 est bien "passé à droite du signe =", non ?

Encore une fois, c'est une "recette de cuisine", un raccourci...
Ce qui se passe réellement (et tu as aussi oublié), c'est ça :
[tex]2x = 4\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2x}{2}=\dfrac 4 2\quad\Leftrightarrow\quad x =\dfrac 4 2\quad\Leftrightarrow\quad x =2[/tex]

Concernant l'addition, mes élèves écrivaient, au débit, sur leur cahier :
Tout se passe comme si on avait le droit de changer un terme de membre à condition de changer son signe...
Vois-tu la différence avec : "on a le droit de changer un terme de membre à condition de changer son signe" ?

A part ça et si on revenait à ton exercice ? Parce qu'on est pas au bout, hein !

@+

leo0 · 25-05-2018 21:02:43

Bonsoir Yoshi,

-3-

l'énoncé me dit de choisir $x_{1} < x_{2} \leqslant\alpha$
c'est l'hypothèse
et il me dit, en fait je sais que
$x_{1} < \alpha$
$x_{2}\leqslant\alpha$

$x_{1}<\alpha$ alors $x_{1} - \alpha < 0$

$x_{2}\leqslant\alpha $ alors $x_{2} - \alpha\leqslant0$

--------------------------------
là, je reprends ton exemple en prenant des valeurs numériques à la place de $\alpha = 2$, alors j'ai $x_{1}< 2$
si je soustrais 2 à tous les nombres inférieurs à 2,à tous les nombres $x_{1}$ tel que $x_{1}< 0$, le résultat est négatif ....
comme j'ai particulièrement apprécié cet exemple, je me permets de le réutiliser pour comprendre ce que j'écris .....
--------------------------------

sachant que :

$\begin{cases}x_1-\alpha < 0\\x_2-\alpha\; \leqslant\; 0\end{cases}$

j'effectue la somme de $x_{1} -\alpha < 0$ et de $x_{2} - \alpha\leqslant 0$

$x_{1} - \alpha + x_{2} -\alpha \leqslant 0 + 0$

un seul zéro suffit....

je propose une autre façon :

je pars toujours de l'hypothèse : $x_{1}<x_{2}\leqslant\alpha$
donc je sais que :
$x_{1}<\alpha$
$x_{2}\leqslant\alpha$

Qu'en conclure de $x_{1}+ x_{2}$ ?

$x_{1}<\alpha$
$x_{2}\leqslant\alpha$

$x_{1}+x_{2}\leqslant\alpha+\alpha \Leftrightarrow x_{1}+x_{2}\leqslant2\alpha$
----------------------------------------------------
prenons un exemple numérique, si $\alpha = 2$
alors $x_{1}+x_{2}\leqslant4$

si je soustrais 4 à n'importe quel nombre donnée par la somme :$x_{1}+x_{2}$ et inférieur à 4, le résultat est négatif
------------------------------------------------------

finalement
$x_{2}+x_{1}-2\alpha\leqslant0$
le signe recherché pour $x_{2} +x_{1}-2\alpha$ est <0

-4-
signe $x_{2} - x_{1}$

l'énoncé me donne $x_{1}<x_{2}\leqslant\alpha$
la partie $x_{1}<x_{2}$ me permet de trouver le signe demandé
----------------------------
même exemple que tout à l'heure
si $x_{2}=2$
je soustrais 2 à n'importe quel nombre inférieur à 2, le résultat est négatif
ainsi
$x_{1}<x_{2}$
$x_{1} - x_{2} < 0$

j'ai le signe de la différence entre $x_{1}$ et $x_{2}$
or, il est demandé la différence entre $x_{2}$ et $x_{1}$, je rappelle que d'après le résultat : $a(x_{2}+x_{1}-2\alpha) (x_{2}-x_{1})$ c'est le signe de $x_{2}-x_{1}$
Par quel nombre réel faut-il multiplier $(x_{1}-x_{2})$ pour avoir $(x_{2} - x_{1})$ ?
ça je le sais :
on multiplie par (-1), pour avoir :
$-1 *(x_{1}-x_{2}) = - x_{1}+ x_{2} = x_{2}- x_{1}$
commutativité

ainsi si $x_{1}-x_{2} < 0$
alors $x_{2} -x_{1}>0$

-5-

je sais que :
$a < 0$
$x_{2}+x_{1}-2\alpha\leqslant0$
$x_{2}-x_{1} > 0$

Quel est le signe de $a(x_{2}+x_{1}-2\alpha)(x_{2}-x_{1})$ ?

partant de $(x_{2}-x_{1})$ qui est toujours positif, le signe de cette différence est le même que $a (x_{2}-x_{1}-2\alpha)$
si $x_{1} < x_{2}$ équivaut : $(x_{2}-x_{1})$ toujours positif et on a donc que le signe $f(x_{2}) -f(x_{1})$ dépend, est le même que celui de $a (x_{2}-x_{1}-2\alpha)$
on a donc le produit de deux facteurs ayant le même signe donne un produit de signe positif

J'en déduis le signe de $f(x_{2})-f(x_{1}) > 0$

-6-
maintenant
pour a < 0 j'en déduis la variation de $f(x) = a x² + bx + c = a(x - α)² + β$ sur l'intervalle $]-\infty;\frac{-b}{2a}]$
comme la fonction croissante conserve l'ordre : sachant que je suis parti de $x_{1}<x_{2}$ tel que $x\in ]\infty;\alpha]$et que $f(x_{1})$ < $f(x_{2})$ $f$ est bien croissante sur la partie gauche du sommet avec $a < 0$ (pas si a > 0) attention..

Dernière modification par leo0 (25-05-2018 23:34:02)

yoshi · 26-05-2018 10:05:55

Salut,

Oui, c'est bon...
Et les exemples numériques que je t'avais sonnés sont inutiles dans une démonstration et même ne doivent pas y figurer.
Si les ai utilisés, c'était uniquement pour illustrer ce que je disais, te convaincre...
Puisqu'il y a deux questions qui font appel au même calcul de [tex]f(x_2)-f(x_1)[/tex], je sors ce calcul du 1) et je l'exécute en introduction.
Ensuite, je repartirai les deux fois de la forme établie [tex]f(x_2)-f(x_1)=a(x_2+x_1-2\alpha)(x_2-x_1)[/tex]

Résumons.
Soit une fonction f telle que [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex]
On choisit [tex]x_1<x_2\leqslant \alpha[/tex], avec [tex]\alpha=-\dfrac{b}{2a}[/tex]
Calculons [tex]f(x_2)-f(x_1)[/tex]
[tex]f(x_2)-f(x_1) =a(x_2-\alpha)^2+\beta-[a(x_1-\alpha)^2+\beta][/tex]
Ce qui équivaut à :
[tex] f(x_2)-f(x_1) =a(x_2-\alpha)^2+\beta-a(x_1-\alpha)^2-\beta[/tex]
Après simplification :
[tex] f(x_2)-f(x_1) =a(x_2-\alpha)^2-a(x_1-\alpha)^2[/tex]
Factorisation
[tex] f(x_2)-f(x_1) =a(x_2-\alpha)^2-a(x_1-\alpha)^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex] f(x_2)-f(x_1) =a[(x_2-\alpha)^2-(x_1-\alpha)^2][/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex] f(x_2)-f(x_1) =a(x_2-\alpha+x_1-\alpha)(x_2-\alpha-x_1+\alpha)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex] f(x_2)-f(x_1) =a(x_2+x_1-2\alpha)(x_2-x_1)[/tex]

1) Cas où a <0
Etudions le signe de [tex] f(x_2)-f(x_1)[/tex]
* a<0
* [tex] x_2\leqslant \alpha[/tex] donc [tex]x_2-\alpha \leqslant 0[/tex]
[tex] x_1<\alpha[/tex] donc [tex]x_1-\alpha < 0[/tex]
D'où [tex](x_2+x_1-2\alpha)<0[/tex] (*)
* [tex]x_1<x_2[/tex] donc [tex](x_2-x_1>0)[/tex]
donc le signe de [tex]f(x_2)-f(x_1)[/tex] est : [tex] - \times - \times + =+[/tex]
D'où [tex] f(x2)-f(x_1) >0[/tex] soit [tex]f(x_2)>f(x1)[/tex]
Partant de [tex]x_1<x_2\leqslant\alpha[/tex] on a montré que si a<0 alors [tex]f(x_2)>f(x1)[/tex]
La fonction f est donc croissante sur l'intervalle [tex]]-\infty\,;\,\alpha][/tex]

Maintenant si tu passes à la question suivante
2) Cas où a >0
Le seul changement par rapport au cas précédent est a>0 au lieu de a<0
Donc le signe de [tex]f(x_2)-f(x_1)[/tex] est : [tex] + \times - \times + = -[/tex]
Partant de [tex]x_1<x_2\leqslant\alpha[/tex] on a montré que si a >0 alors [tex]f(x_1)>f(x_2)[/tex]
La fonction f est donc décroissante sur l'intervalle [tex]]-\infty\,;\,\alpha][/tex]

(*) On peut encore utiliser une variante de cette méthode (et non une autre méthode) : j'étais parti comme ça au post #23 où j'écrivais :

Post#23, yoshi a écrit :

L'énoncé t'a dit de choisir [tex]x_1<x_2\leqslant\alpha[/tex] donc tu sais que
[tex] \begin{cases}x_1&<\alpha\\x_2&\leqslant\alpha\end{cases}[/tex]
Qu'en conclus-tu pour [tex]x_1+x_2[/tex] ?
Puis pour [tex]x_1+x_2-2\alpha[/tex] ?

De [tex] \begin{cases}x_1&<\alpha\\x_2&\leqslant\alpha\end{cases}[/tex], je conclus (explication qu'il est inutile d'écrire : j'additionne membre à membre les deux inégalités) : [tex]x_1+x_2<2\alpha[/tex]
Et [tex]x_1+x_2<2\alpha\quad\Leftrightarrow\quad x_1+x_2-2\alpha<0[/tex]

Si tout est clair, alors on passera à la démonstration de ton prof...

@+

leo0 · 26-05-2018 15:37:47

Salut,

j'ai besoin de revoir pour le - 4 - ( signe de $x_{2}-x_{1}$ )

j'ai pris deux valeurs distinctes de $x$, $x_{1}$ et $x_{2} < 0$ telles que $ x_{1} < x_{2}$
la deuxième valeur $x_{2}$ est placée en premier dans la différence $x_{2} - x_{1}$
par conséquent $x_{1}$ change de signe et sa valeur absolue étant supérieure à celle de $x_{1}$
.... le résultat est positif ...
le résultat est toujours positif......

yoshi · 26-05-2018 16:04:09

Salut,

j'ai pris deux valeurs distinctes de $x$, $x_1$ et $x_2<0$

Non, pas du tout...
Tu as pris [tex]x_1<x_2\leqslant \alpha[/tex]...
Et là en fait, le [tex]\alpha[/tex] n'intervient pas : seule compte la première partie : [tex]x_1<x_2[/tex]...
Peu importe les signes de [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex] pourvu qu'on sache que :
[tex]x_1<x_2[/tex]...

Tu te compliques la vie...
Si [tex] x_1[/tex] est inférieur à [tex]x_2[/tex], c'est que [tex]x_2[/tex] est supérieur à [tex]x_1[/tex], s'pas ? (Le contraire serait inquiétant...)
Donc quand tu soustrais à [tex]x_2[/tex] un nombre qui lui est inférieur, la différence est positive....
On peut voir ça aussi comme ça :
[tex]x_2>x_1[/tex]
Donc
[tex]x_2-x_1>x1-x_1[/tex] (L'addition conserve l'ordre...)
d'où
[tex]x_2-x_1>0[/tex]

-----------------------------------------------------------------------

Alors, tu risques de me dire : vous avez pas additionné, vous avez soustrait...
Oui et non...
Cela provient de la classe de 5e...
Quand tu as appris à soustraire
* -2 à -3, c'est à dire : (-3)-(-2)
ou
* +2 à -3, c'est à dire : (-3)-(+2)
tu n'avais pas encore appris les conventions de simplification d'écriture...
On t'a donné la règle : Pour soustraire un nombre b à un nombre a, on ajoute au nombre a l'opposé du nombre b :
a-b = a+(-b)
Donc tu a appris :
(-3) - (-2) = (-3) + (+2) = -1 ce qui avec la simplification d'écriture devient -3 - (-2) = -3 + (+2) = -3+2 = -1
(-3) - (+2) = (-3)+ (-2) = -5 ce qui avec la simplification d'écriture devient -3 - (+2) = -3 + (-2) = -3-2 = -5

Ici :
[tex]x_2>x_1[/tex]
Donc
[tex]x_2-x_1>x1-x_1[/tex]
Toi tu peux voir une soustraction, mais moi, je peux voir une addition en écrivant cela comme ça :
[tex]x_2+(-x_1)>x_1+(-x_1)[/tex] ;-)

@+

leo0 · 30-05-2018 14:06:44

Bonjour

J'aimerais savoir s'il est possible de revenir sur un message précédent et de remplacer : sans changer cette égalité
par sans changer cette inégalité
c'est dans le message 36, juste après l'exemple avec les marches de l'escalier de la Tour Eiffel..
Voilà, je relis souvent cet exemple, qui me sert beaucoup pour réviser le chapitre sur les inégalités
et c'est juste pour ne pas avoir à me dire, et bien là il faut que je me dise : c'est sans changer cette inégalité
- - > j'ai bien compris que c'est inégalité à la place d'égalité, à vrai dire quand je relis le message rapidement, je fini par me tromper
D'avance merci

yoshi · 30-05-2018 15:31:35

Re,

c'est fait.
J'ai corrigé ma faute de frappe...

@+

leo0 · 30-05-2018 15:38:27

super !!

leo0 · 30-05-2018 15:45:15

on passe à la méthode de mon prof

on y go ??

yoshi · 30-05-2018 17:32:08

bonjour,

Wouah ! quel enthousiasme !
Donc on part de a<0ventre vers le haut)
On sait que [tex]f(x)=(x-\alpha)^2+\beta[/tex]
La fonction carré évoquée par ton prof figure dans le cours de seconde.
c'est quel que soit [tex]x \in ]-\infty\,;\,+\infty[,\; x\mapsto g(x)=x^2[/tex]

Cette fonction est représentée par une parabole "ventre vers le haut".
Cette fonction
* est décroissante sur [tex]]-\infty\,;\,0][/tex]
* passe par un minimum (le somme) pour x = 0
* est croissante sur [tex][0\,;\,+\infty[[/tex]

On choisit deux valeurs $x_1$ et $x_2$ de $x$ telles que :
[tex]x_1<x_2\leqslant \alpha[/tex]
J'additionne [tex]-\alpha[/tex] à tous les membres de la double inéquation :
[tex]x_1-\alpha<x_2-\alpha\leqslant 0[/tex]
Du déjà vu...

On a dit que la fonction carré est décroissante sur [tex]]-\infty\,;\,0][/tex] : d'après la définition, cela signifie que quels que soient $X_1$ et $X_2$ tels que $x_1<X_2\leqslant 0$ alors cela entraine que $X_1^2>X_2^2$
Ok, jusque là ?

Bin justement on a [tex](x_1-\alpha)<(x_2-\alpha)\leqslant 0[/tex]
Donc on peut écrire : [tex](x_1-\alpha)^2>(x_2-\alpha)^2[/tex]

Mais nous, ce qui nous intéresse c'est de comparer $f(x_1)$ à $f(x_2)$, c'est à dire $a(x_1-\alpha)^2+\beta$ à $a(x_2-\alpha)^2+\beta$

Avec l'habitude, on peut le faire en une fois, mais la prudence voudrait qu'on le fasse en deux fois.
Donc, partant de
[tex](x_1-\alpha)^2>(x_2-\alpha)^2[/tex]
on va multiplier les deux membres par a.
Mais attention : a est un nombre négatif !
Or, la multiplication par un nombre négatif change l'ordre. Donc on écrit :
[tex]a(x_1-\alpha)^2<a(x_2-\alpha)^2[/tex]
(Juste pour toi. Il ne faut écrire ça sur une copie : pour illustrer la règle, je prends l'exemple : -3 < -1, puis je multiplie les deux membres par -5 et je vois que 15 > 5)

Et à partir de :
[tex]a(x_1-\alpha)^2<a(x_2-\alpha)^2[/tex]
j'ajoute $beta$ aux deux membres (l'addition conserve l'ordre) et j'obtiens :
[tex]a(x_1-\alpha)^2+\beta<a(x_2-\alpha)^2+\beta[/tex]
Soit :
[tex]f(x_1)<f(x_2)[/tex] et comme on est parti de [tex]x_1<x_2\leqslant \alpha[/tex]
on peut dire que la fonction f est croissante sur $]-\infty\,;\,\alpha]$ quand a est négatif...

Qu'est-ce qui change dans la deuxième question ?
a>0
Puis la multiplication par un nombre positif conserve l'ordre , donc
[tex]a(x_1-\alpha)^2>a(x_2-\alpha)^2[/tex]

puis [tex]a(x_1-\alpha)^2+\beta>a(x_2-\alpha)^2+\beta[/tex] et f décroissante sur [tex] ]\alpha\,;\,+\infty[/tex]

@+

leo0 · 30-05-2018 18:56:46

je pars de la forme canonique $f(x) = (x - α)² + β$ d'une fonction polynôme de degré ² qui est définie par $f(x) =ax² + bx +c$

Pour la fonction carré.
Pour $f(x) = x²$ je remplace $α$ par $0$.

Visiblement, il y a ce qui se passe avant et après $0$.
--- > je ne peux pas étudier la variation de x² sur un intervalle compris de $-\infty$ à $+\infty$
Pourquoi ?
$x²$ n'est pas monotone sur cet intervalle, c'est bien ça ?

Donc :

* qu'est ce que je peux dire pour $0<x_{1}<x_{2}$ ?

et bien je peux dire les carrés sont rangés dans le même ordre que deux nombres positifs, ça rejoint la définition de la fonction croissante donc
x² est bien croissante si $x_1, x_2\in [0;+\infty[$

exemple numérique : je prends $x_1 = 2$ et $x_2= 4$ donc je choisis bien deux valeurs : $x_1$ et $x_2$ tel que $x_1<x_2$ alors $(2)² = 4$ et $(4)²= 16$
on a bien $2 < 4$ et $4 < 16$ ( c'est le même ordre )

* qu'est ce que je peux dire pour $x_1<x_2<0$ ?
deux nombres négatifs $x_1$ et $x_2$ et leurs carrés $x_1²$ et $x_2²$ sont rangés dans l'ordre contraire : un carré est toujours positif et ça rejoint la définition de la fonction décroissante
donc x² est bien décroissante sur $]-\infty;0]$

$f(x) = (x - α)² + β$

visiblement, il y'a ce qui se passe avant et après $α$
et je ne connais pas $\alpha$. Je sais que $\alpha = \frac{-b}{2a}$ ... c'est tout ce que je sais .....
et là, ce sont les mêmes questions :

Qu'est ce que je peux dire pour $α<x_1<x_2$ ?

également : qu'est ce que je peux dire pour $x_1<x_2<α$

Dernière modification par leo0 (30-05-2018 19:05:13)

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