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#1 13-04-2018 02:14:21

Binks
Invité

Démonstration d'une inégalité

Bonjour,

Je cherche à montrer que pour des réels [tex]a,b > 1[/tex], on a [tex]\frac{\ln(a) + \ln(b)}{2} \le \ln(\frac{a+b}{2})[/tex].
Je pensais avoir réussi, mais je me suis rendu compte que mon raisonnement était faux. Après plusieurs nouvelles tentatives, je n'y arrive pas.
J'ai pensé, est-ce qu'il est possible de fixer par exemple [tex]b[/tex] et de dériver par rapport à [tex]a[/tex] une fonction qui vaudrait la différence des deux quantités en question ? Ou bien y aurait-il un moyen plus simple ?

Au final, je veux montrer que [tex]\sqrt{\ln(a)\ln(b)} \le \ln(\frac{a+b}{2})[/tex] et j'ai déjà que [tex]\sqrt{\ln(a)\ln(b)} \le \frac{\ln(a) + \ln(b)}{2}[/tex].

Merci beaucoup pour votre aide.

#2 13-04-2018 07:55:27

D_john
Invité

Re : Démonstration d'une inégalité

Salut,

Voir ton cours sur les fonctions convexes... et compare le log de la moyenne et la moyenne des log.

#3 13-04-2018 14:00:59

Binks
Invité

Re : Démonstration d'une inégalité

Bonjour,

Merci pour votre réponse. Je n'ai pas de cours sur les fonctions convexes, mais je vais faire des recherches en ce sens.

#4 13-04-2018 14:38:15

Binks
Invité

Re : Démonstration d'une inégalité

Je ne comprends pas trop en fait, [tex]\ln[/tex] semble être concave.. Sous-entends-tu qu'il faudrait passer à l'exponentielle dans la comparaison ?
J'ai du mal à voir comment comparer le log de la moyenne et la moyenne des log, cela a l'air assez compliqué pour ce qui est demandé, non ?
Je continuerai à regarder ça un peu plus tard.

#5 13-04-2018 15:39:49

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 28

Re : Démonstration d'une inégalité

Salut,

Une manière parmi d'autres.
Je n'aime pas donner une réponse détaillée, mais pas facile de faire autrement dans cerains cas.

(a - b)² >= 0 (comme carré)
a² + b² - 2ab >= 0
a² + b² - 2ab + 4ab >= 4ab
a² + b² + 2ab >= 4ab
(a+b)² >= 4ab
[(a+b)/2]² >= ab

et comme la fonction ln() est strictement croissante sur R*+ et que les 2 membres de l'inéquation sont > 0, on a aussi :
ln[(a+b)/2]² >= ln(ab)
2.ln[(a+b)/2] >= ln(a) + ln(b)
ln[(a+b)/2] >= (ln(a) + ln(b))/2

Hors ligne

#6 13-04-2018 17:03:48

Binks
Invité

Re : Démonstration d'une inégalité

Merci beaucoup pour ta réponse..
En plus j'ai montré de manière similaire qq chose dans une question précédente, mais je n'ai pas pensé à l'appliquer ici..
Bonne journée !

#7 21-05-2018 19:18:49

fast and maths
Invité

Re : Démonstration d'une inégalité

Binks a écrit :

Bonjour,

Je cherche à montrer que pour des réels [tex]a,b > 1[/tex], on a [tex]\frac{\ln(a) + \ln(b)}{2} \le \ln(\frac{a+b}{2})[/tex].
Je pensais avoir réussi, mais je me suis rendu compte que mon raisonnement était faux. Après plusieurs nouvelles tentatives, je n'y arrive pas.
J'ai pensé, est-ce qu'il est possible de fixer par exemple [tex]b[/tex] et de dériver par rapport à [tex]a[/tex] une fonction qui vaudrait la différence des deux quantités en question ? Ou bien y aurait-il un moyen plus simple ?

Au final, je veux montrer que [tex]\sqrt{\ln(a)\ln(b)} \le \ln(\frac{a+b}{2})[/tex] et j'ai déjà que [tex]\sqrt{\ln(a)\ln(b)} \le \frac{\ln(a) + \ln(b)}{2}[/tex].

Merci beaucoup pour votre aide.


Bonjour suis au lycée, je pense qu'on peut faire comme sa

[tex]x\mapsto \ln { x\quad  }[/tex]croissante   sur [tex]R^*+[/tex] donc aussi sur [tex]\left[ 1,\infty  \right][/tex]

[tex]{ \left( a-b \right)  }^{ 2 }\ge 0\quad \Leftrightarrow { \left( a+b \right)  }^{ 2 }\ge 4ab\quad \Leftrightarrow { \left( \dfrac { a+b }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }\ge ab\quad \Leftrightarrow \ln { \left( ab \right)  } \le \ln { \left( \dfrac { a+b }{ 2 }  \right) ^{ 2 } } \Leftrightarrow \ln { a+\ln { b }  } \le 2\ln { \left( \dfrac { a+b }{ 2 }  \right)  }[/tex]


[tex]\forall a,b\ge 1,\dfrac { \ln { a } +\ln { b }  }{ 2 } \le \ln { \left( \dfrac { a+b }{ 2 }  \right)  }[/tex]

#8 22-05-2018 16:06:04

fast and maths
Invité

Re : Démonstration d'une inégalité

on peut aussi faire comme sa


[tex]{ \left( \sqrt { a } -\sqrt { b }  \right)  }^{ 2 }\ge 0\quad \Leftrightarrow \quad \quad a+b\ge 2\sqrt { ab } \quad \Leftrightarrow \dfrac { a+b }{ 2 } \ge \sqrt { ab } \quad \Leftrightarrow \ln { \left( \dfrac { a+b }{ 2 }  \right)  } \ge \dfrac { \ln { a } +\ln { b }  }{ 2 }[/tex]

#9 22-05-2018 16:10:24

fast and maths
Invité

Re : Démonstration d'une inégalité

D_john a écrit :

Salut,

Voir ton cours sur les fonctions convexes... et compare le log de la moyenne et la moyenne des log.


Il s 'agit en réalité de moyenne arithmétique et géométrique!

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