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#1 17-05-2018 11:36:39

atheefeh
Invité

probailités conditionnelles arrangement ou combinaison ou permutation?

bonjour,

j'ai un problème que je n'arrive pas à résoudre
soit 12 questions d'examens
un étudiant N fait l'impasse sur 3 question
il est le sixième à passer , quelle est la probabilité qu'il tire une question non révisée parmi les 12 questions
les questions sont tirées par les étudiants sans remise


A l'aide svp...

j'ai raisonné de la facon suivante
calculé la probabilité qu'aucun des étudiants devant lui ne tire une question non révisé, puis celle qu'il y en est un, puis celle qui'il y en est deux et la correction (non détaillée) que j'ai en main nous demandait de calculer la probabilité pourqu'il y en est 3.... mais je ne vois pas l'interet puisque s'il y en a 3, il sera "sauvéé et la probabilité d'en tirer une est nulle dans ce cas....

cela fait des années que je n'ai plus fait de proba, j'ai fait ca avec la formule des arrangements

#2 17-05-2018 18:36:34

D_john
Invité

Re : probailités conditionnelles arrangement ou combinaison ou permutation?

Bonsoir,
Voici comment j’aurais traité ton problème (si j'avais oublié toutes les formules).
    Q = question
    B = bonne question
    M = mauvaise question
L’urne contient 9 B + 3 M = 12 Q
On tire 6 questions sans remises.
Nombre de tirages possibles :
12.11.10.9.8.7 = 665280
Un tirage est défavorable si la Q n°6 est M
Nombre de tirages défavorables  :
- 9.8.7.6.5.3 = 45360      (sans M aux 5 premiers tirages)
- 9.8.7.6.3.2 = 18144      (avec 1 M dans les 5 premiers tirages)
- 9.8.7.3.2.1 = 3024        (avec 2 M dans les 5 premiers tirages)
Soit un total de 66528 tirages défavorables et donc 9 chances sur 10 de réussir l’examen.
A+ si questions

#3 17-05-2018 23:31:24

atheefeh
Invité

Re : probailités conditionnelles arrangement ou combinaison ou permutation?

sauf que la question qui précédait nous fait comprendre que la porbabilité est de un quart quelque soit la place de passage. et la question que j'ai posé ici c est pour le démontrer.... et que je ne tombe pas sur 1/4 avec mes calculs mais 1/10

j'ai eu quelques éclaircissement, comme on ce qui nous importe c'est les six premiers étudiants ( notre étudiant fainéant inclu) , on traite le problème avec des permutations car l'univers est restraint à 6 questions tirées

mais on m'a dit que j'aurais très bien pu utiliser les arrangements, sauf que je n'y arrive pas.

j'ai du mal à croire que cet exo est de niveau terminal....

#4 18-05-2018 08:10:11

D_john
Invité

Re : probailités conditionnelles arrangement ou combinaison ou permutation?

Bonjour,

Heu... je t'ai dit 'si j'avais oublié toutes les formules'.
Bien évidemment je trouve la même réponse que toi et c'est faux.
L'erreur provient des dénombrements.
Par exemple, puisque l'ordre de tirage compte, pour former des tirages de 6Q contenant 1M dans les 5Q tirées par les autres,
on a oublié qu'il y a 5 manières de placer M parmi 4B.
D'autre part, il y a les mots 'probabilités conditionnelles' dans ton énoncé et je crois qu'il faut en tenir compte dans le raisonnement.
A+ pour la suite conditionnelle.

#5 18-05-2018 09:58:07

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 001

Re : probailités conditionnelles arrangement ou combinaison ou permutation?

Salut,

Intuitivement, on sent bien que peu importe ordre de passage, l'étudiant fainéant stratégique a 1 chance sur 4 de se vautrer.

Nombre d'arrangements de 6 questions parmi les 12 :
$12\times11\times10\times9\times8\times7$

Nombre d'arrangements de 6 questions parmi les 12 avec une mauvaise question pour l'étudiant :
$3\times11\times10\times9\times8\times7$
En effet, on choisi d'abord la mauvaise question de l'étudiant, puis il reste 11 questions pour le premier, 10 pour le deuxième, ...

On obtient ainsi une probabilité de $\dfrac{1}{4}$.


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

Hors ligne

#6 18-05-2018 12:52:11

atheefeh
Invité

Re : probailités conditionnelles arrangement ou combinaison ou permutation?

merci Thibo

merci à toi D John

#7 18-05-2018 14:29:55

D_john
Invité

Re : probailités conditionnelles arrangement ou combinaison ou permutation?

Salut à tous,

A toute fin utile, correction et explication + une solution encore plus simple...

Nombre de tirages possibles :
12.11.10.9.8.7 = 665280
Un tirage est défavorable si la Q n°6 est M
Nombre de tirages défavorables  :
- 9.8.7.6.5.3.5 = 45360      (sans M aux 5 premiers tirages)
- 9.8.7.6.3.2.10 = 90720    (avec 1 M dans les 5 premiers tirages)
- 9.8.7.3.2.1.10 = 30240    (avec 2 M dans les 5 premiers tirages)
Soit un total de 166320 tirages défavorables et donc seulement 3 chances sur 4 de réussir l’examen.

Montrer que cette probabilité est la même pour chacun des 6 candidats (càd quel que soit le rang de tirage du candidat).

Pour simplifier, supposons que les 6 candidats aient fait chacun les 3 mêmes impasses. Une autre manière de dérouler cette expérience aléatoire consiste à :
- extraire 6Q en bloc (donc sans remises et en aveugle) de l’urne U1 contenant 12Q = 9B+3M ;
- placer ces 6Q dans une urne U2 dont la répartition M, B est inconnue ;
- tirer les 6Q de U2 successivement.
Ce processus donne le même résultat final.

Pour s’en convaincre, il “suffit” de faire le calcul. On note C(n, p) le nombre de combinaisons de n objets pris p à p. Nombre de permutations possibles :
- on a C(12, 6) = 924 U2 possibles ;
- on a 6! = 720 permutations possibles pour chacune des U2.
On retombe donc bien sur les 665280 tirages possibles obtenus par dénombrement direct (normal ! c’est la même formule).
Maintenant, U2 étant fixée, si on écrit les 6! permutations en tableau (6 colonnes x 6! lignes), chaque colonne présente la même proportion de M. Il en est de même pour chaque ligne du tableau et également dans U2.
----------
Pour t’en convaincre (car je ne connais pas ton niveau et ne veux pas parler d’ergodicité ici), considérer une urne contenant 2
boules blanches (B1, B2) et 1 marron (M). Le tableau des permutations possibles est le suivant :
    B1  B2  M
    B2  B1  M
    B1  M   B2
    B2  M   B1
    M   B1  B2
    M   B2  B1
La proportion de M sur une ligne, sur une colonne et dans l’urne est de 1/3. CQFD.
----------
L’urne U2 étant fixée, que l’on soit le 1er, 2ème …. ou 6ème à tirer, c’est donc le même risque.
Sachant cela, le calcul devient très simple.
Quelle est la probabilité que le 1er qui tire obtienne Q1 = M ?... et pour les 5 autres ?
Réponse : 3/12 = ¼ idem pour les autres.
On peut montrer “tout aussi simplement” que c’est encore vrai si chacun des candidats a fait le même nombre d’impasses (mais pas forcément les mêmes).
A+ si questions.

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