Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 15-05-2018 22:22:51

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 38

déduire une intégrale de Fourier

Bonjour
j'ai l'exercice suivant
1- Soit $a>0$ et soit la fonction $f$ définie par $f(x)= e^{-ax} \chi_{[0,+\infty[}(x)$. Calculer $Ff$.
2- Soit la fonction $g$ définie par $g(x)= e^{ax} \chi_{]-\infty,0[}(x)$. Calculer $Fg$0
3. Déduire la valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 +4 \pi^2 x^2}$.

Pour les questions 1 et 2 je trouve ceci: $Ff(\xi)= \dfrac{1}{i \xi +a}$ et $Fg= \dfrac{1}{a-i\xi}$.
Comment on déduit l'intégrale $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 +4 \pi^2 x^2}$?
J'ai essayé d'écrire que
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 + 4 \pi^2 x^2} dx = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} Ff(2 \pi x) . Fg(2 \pi x) dx
$$
et après je bloque pour la suite
Merci par avance de m'aider à achever cette question.

Hors ligne

#2 16-05-2018 04:48:46

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 104

Re : déduire une intégrale de Fourier

Bonjour

  Il faut que tu utilises la formule de Plancherel.

F.

Hors ligne

#3 16-05-2018 18:12:30

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 38

Re : déduire une intégrale de Fourier

Alors on dit que
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 + 4 \pi^2 x^2} dx = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} Ff(2 \pi x) . Fg(2 \pi x) dx
$$
et par Planchrel
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 + 4 \pi^2 x^2} dx = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(2 \pi x) . g(2 \pi x) dx.
$$
c'est correct?

Hors ligne

#4 17-05-2018 04:13:22

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 104

Re : déduire une intégrale de Fourier

Aux eventuelles constantes près (que je n'ai pas le temps de vérifier) oui.

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante ?98 - 66
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums