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#1 16-05-2018 10:47:13

Artyb
Invité

Convergence d'une série de nombres complexes

Bonjour,

Comment résoudre les deux questions suivantes?

Soit [tex]z \in K[/tex] avec K un compact de D(0,1).
On a [tex]sup |z|=max|z|=r \leq 1 [/tex]

1. Démontrer que:
[tex]||\frac{z^n}{1-z^n}||_\infty\leq \frac{r^n}{1-r}[/tex]

2. Puis que [tex]\sum_{n\geq1}a_n\frac{z^n}{1-z^n}[/tex] converge normalement sur D(0,1) avec [tex]\sum_{n\geq1} a_n[/tex] suite de nombres complexes convergente.

Où j'en suis pour le moment:
1. On a
[tex] ||\frac{z^n}{1-z^n}||_\infty=sup|\frac{z^n}{1-z^n}|[/tex] mais ensuite je ne sais pas comment montrer la majoration.

2. On utilise la question précédente et en notant [tex]C=sup|a_n| < + \infty[/tex] on a:
[tex]\sum_{n\geq1}a_n\frac{z^n}{1-z^n}\leq C \sum \frac{r^n}{1-r}[/tex] ?
Cela ne me semble pas juste car la somme d'un produit est différente du produit des sommes...

#2 16-05-2018 11:46:19

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 004

Re : Convergence d'une série de nombres complexes

Bonjour,

Artyb a écrit :

[tex] ||\frac{z^n}{1-z^n}||_\infty=sup|\frac{z^n}{1-z^n}|[/tex] mais ensuite je ne sais pas comment montrer la majoration.

Tu écris $\left|\frac{z^n}{1-z^n}\right|=\frac{|z^n|}{|1-z^n|}$.
Pour le numérateur, pas de problème de majoration. En revanche, tu dois minorer le dénominateur pour que, quand tu passes à l'inverse, tu trouves une majoration. Ici, le plus simple est d'utiliser l'inégalité triangulaire "à l'envers" qui te dit que
$|1-z^n|\geq 1-|z|^n$. Je te laisse continuer.

2. On utilise la question précédente et en notant [tex]C=sup|a_n| < + \infty[/tex] on a:
[tex]\sum_{n\geq1}a_n\frac{z^n}{1-z^n}\leq C \sum \frac{r^n}{1-r}[/tex] ?

Déjà ici, cela ne va pas. Le terme de gauche est un nombre complexe. Cela n' a aucun sens de vouloir dire qu'il est inférieur ou égal à un nombre réel.
D'abord, es-tu sûr de tes hypothèses et de la conclusion que tu veux. Est-ce que tu n'as pas plutôt que la série $\sum_{n\geq 1}a_n$ converge absolument? Veux-tu une convergence uniforme sur $D(0,1)$, ou sur $K$???
Ensuite, pour démontrer une convergence normale de $\sum_n u_n(z)$ sur un ensemble $E$, la méthode est toujours la même. Tu majores $|u_n(z)|$ (en module!) par un réel $x_n$ pour tout $z$ de $E$ (attention! ici, $x_n$ ne doit pas dépendre de $z$), et tel que la série $\sum_n x_n$ converge.
A toi de majorer $\left|a_n \frac{z^n}{1-z^n}\right|$ (tu t'en fiches pour le moment de la somme) par quelque chose qui ne dépend pas de $z$.

F.

Hors ligne

#3 16-05-2018 12:52:16

Arty
Invité

Re : Convergence d'une série de nombres complexes

Merci de ta réponse Fred.

1. Bien compris, j'ai réussi à le démontrer je pense:
On a[tex] |1-z^n+z^n|\leq|1-z^n|+|z^n|[/tex]
Donc [tex]\frac{1}{|1-z^n|} \leq \frac{1}{1-|z^n|}\leq \frac{1}{1-r^n}\leq \frac{1}{1-r}[/tex]
La dernière inégalité découle du fait que [tex]r<1[/tex]

2. Je cherche à montrer une convergence normale sur tout compact de D(0,1).
Merci beaucoup pour la méthode, j'ai un cours mais j'ai du mal à déduire des méthodes de résolution à partir du cours.
On majore [tex]|a_n\frac{z^n}{1-z^n}| \leq C \frac{r^n}{1-r}[/tex] avec C définit comme dans mon premier post.
Ensuite comment passe-t-on à la somme?

NB: Une coquille s'est glissée dans mon premier post, on a [tex]r <1[/tex] et non [tex]r \leq 1[/tex]

#4 16-05-2018 14:08:48

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 004

Re : Convergence d'une série de nombres complexes

C'est fini. Puisque $0\leq r<1$, la série $\sum_n r^n$ est convergente, et tu as démontré la convergence normale sur $K$.

Hors ligne

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