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#1 16-05-2018 11:09:11

Arty
Invité

Developpement en séries entières

Bonjour,

Soient [tex]E=\{z\inD(0,1), \frac{|1-z|}{1-|z|}\leq k\}[/tex] et [tex](c_n)[/tex] une suite de nombres complexes telle que la série entière [tex]\sum_0^{+\infty}c_nz^n[/tex] converge en z=1.

Notons [tex]f[/tex] la somme de la série sur [tex]D(0,1)[/tex]. Pour [tex]z \in D(0,1)[/tex], développez [tex]\frac{f(z)}{1-z} [/tex]en séries entières.

La correction indique que en supposant la somme de la série nulle, on a:

[tex]\frac{f(z)}{1-z} =(\sum_n z^n)(\sum_n c_nz^n)=\sum_{p,q\eq 0}c_pz^{p+q}=\sum_n(\sum_{k=0}^nc_k)z^n[/tex]

Je comprends les dernières égalités mais pas la première, où est passé le [tex](1-z)[/tex] au dénominateur ?

#2 16-05-2018 11:36:21

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 959

Re : Developpement en séries entières

Bonjour,

  C'est assez clair, non? $\frac1{1-z}=\sum_{n\geq 0}z^n$ si $|z|<1$ (somme d'une série géométrique).

F.

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