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toto_cal

Invité

conditions faibles : theoreme de convergence

Salut, en lisant dans un livre j'ai trouvé un problème qui dit que le resultat du theoreme de convergence monotone, du lemme de Fatou et du theoreme de convergence dominée ne changent pas si on remplace l'hypothèse de convergence presque sure par l'hypothese de convergence en mesure, c'est à dire dans un espace mesuré $(E,\mathcal{A},\mu)$:

1) Theoreme de convergence monotone : si $(f_n)_n$ est une suite croissante de fonctions mesurables positives convergeant en mesure vers une fonction mesurable f, alors
$$\lim_n\int_E{f_n}d\mu=\int_E{fd\mu}$$

2) Lemme de Fatou : si une suite de fonctions mesurables positives $(f_n)_n$ converge en mesure vers une fonction mesurable f alors,
$$\int_E{fd\mu}\leq \liminf_n\int_E{f_n}d\mu$$

3) Theoreme de convergence dominé: si $(f_n)_n$ est une suite de fonctions mesurables convergeant en mesure vers une fonction mesurable
    f et telle qu'il existe une fonction h positive et integrable et telle que : pour tout $n \in \mathbb{N},$
$$|f_n| \leq h \ \mu-p.p.$$
     
alors f  est integrable et on a :
$$\lim_n\int_E{f_n}d\mu=\int_E{fd\mu}$$

Je desire prouver chacun de ces cas, alors commencons par le premier cas 1) (theoreme de convergence monotone) :

puisque $(f_n)_n$ converge en mesure vers f alors il existe une sous-suite $(f_{\varphi(n)})_n$ qui converge $\mu-p.p.$ vers f, or $(f_{\varphi(n)})_n$ est une suite croissante de fonctions positives alors on peut appliquer le theoreme classique de Beppo-Levi:
$$\lim_n \int_E{f_{\varphi(n)}}d\mu=\int_E{f}d\mu$$

Alors comment continuer de là? Aussi $(f_n)_n$ et $f$ peuvent-ils prendre la valeur $+\infty?$ (sinon on obtient $+\infty -(+\infty)$ dans la definition de la convergence en mesure)

Merci d'avance!!

toto_cal

Invité

Re : conditions faibles : theoreme de convergence

Bonjour, quelqu'un peut m'aider, j'ai pensé à la resolution de l'exercice, pouvez-vous s'il vous plait, me dire si le raisonnement suivant est correcte:

On suppose que $(f_n)_n$ converge en mesure vers $f$
- pour le lemme de Fatou :
il existe une sous-suite telle que
$$\liminf_n{\int_E{f_n}d\mu}=\lim_n{\int_E{f_{\phi(n)}}d\mu}$$ (sous-suite et valeur d'adhérence...). Or $(f_{\phi(n)})_n$ converge en mesure vers $f$ alors il existe une sous-suite $f_{\phi(\sigma(n))}$ qui converge $\mu-p.p$ vers $f$, appliquons le lemme de Fatou à cette dernière suite, on obtient alors, $$\int_E{f}d\mu\leq \liminf_n{\int_E{f_{\phi(\sigma(n))}}d\mu}=\liminf_n{\int_E{f_n}}d\mu$$

- pour le théorème de convergence monotone, $(f_n)_n$ converge en mesure vers $f$ alors il existe une sous-suite $(f_{\phi(n)})_n$ qui converge presque partout vers $f$, appliquons le théorème de convergence monotone classique à la suite $(f_n)_n$, on obtient :
$$\lim_n\int_E{f_nd\mu}=\int_E{\lim_n{f_n}}d\mu=\int_E{\lim_n{f_{\phi(n)}}}d\mu=\int_E{fd\mu}$$
- pour le théorème de convergence dominée, je vais utiliser le lemme de Fatou (VERSION CONVERGENCE EN MESURE)
On suppose qu'il existe une fonction $h$ à valeurs dans $\mathbb{\overline{R}}^+$ telle que pour tout $n \in \mathbb{N},\ |f_n| \leq  h \
\mu-p.p. $ On sait qu'il existe une sous-suite telle que $(f_{\phi(n)})_n$ converge presque partout vers $f$, d'après le lemme de Fatou, on a $$\int_E{|f|d\mu}=\int_E{\liminf_n|f_{\phi(n)}|d\mu}\leq \liminf_n\int_E{|f_{\phi(n)}|d\mu}\leq \int_Ehd\mu<+\infty $$ alors $f$ est integrable, je vais introduire l'ensemble $W:={\bigcap_{n \in \mathbb{N}}}\left\{|f_{n}| \leq h  \right\} \cap \left\{h<+\infty \right\}$
On a $\mu(W^c)=0.$ Appliquons le lemme de Fatou (version convergence en mesure) à la suite positive mesurable, $(h+|f|-|f_nf|1_W)_{n \in \mathbb{N}},$ on obtient alors $$\int_E{hd\mu}+\int_E{|f|}d\mu\leq \int_E{hd\mu}+\int_E{|f|}d\mu-\limsup_n\int_W|f_n- f|d\mu
$$ alors $\limsup_n\int_W|f_n-f|d\mu=0,$ alors $$\lim_n\int_W|f_n-f|d\mu=0=\lim_n\int_E|f_n-f|d\mu=0$$ d'où le résultat !!