calcul de la transformée de Fourier

uni · 02-05-2018 20:01:30

Bonjour
j'essaye de calculer la transformée de Fourier de $x$: $Fx$. On a par définition
$$
Fx= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix\xi} x dx.
$$
En utilisant l'ipp, on obtient
$$
Fx= [-\dfrac{x}{i \xi} e^{-i x\xi}]_{-\infty}^{+\infty} + \dfrac{1}{i \xi} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i x \xi} d\xi
$$
Ma question est comment calculer $[-\dfrac{x}{i \xi} e^{-i x\xi}]_{-\infty}^{+\infty}$? La difficulté est en $-\infty$.
Merci d'avance

Dernière modification par uni (02-05-2018 20:01:47)

Fred · 02-05-2018 21:20:53

Bonsoir,

La fonction $x$ n'est pas intégrable. Cela n'a aucun sens de calculer sa transformée de Fourier.

F.

uni · 02-05-2018 22:14:56

Merci Fred! Vous avez raison

uni · 02-05-2018 23:59:28

Mais $x \in S'(\mathbb{R})$ donc il est possible de calculer sa transformée de Fourier. Non?

Fred · 03-05-2018 09:05:36

Certes. Mais dans ce cas la définition de sa transformée de Fourier n'est pas du tout définie par une intégrale. Elle est définie par dualité en utilisant la transformée de Fourier dans $\mathcal S(\mathbb R)$.

Pour calculer la transformée de Fourier de $x$ (au sens des distributions tempérées), je crois que le plus facile est de commencer par calculer la transformée de Fourier de $\delta_0'$, puis d'appliquer la transformée de Fourier inverse....

F.

uni · 03-05-2018 10:24:03

Ok. Pour le calcul de $F \delta'_0$ on a:soit $\varphi \in S(\mathbb{R})$:
$$
<F\delta',\varphi>_{S',S}= <\delta', F\varphi>=-<\delta,(F\varphi)'>=-(F\varphi)'(0)
$$
de manière générale on a $(F\varphi)'=-(F(x\varphi))$ mais là c'est au point 0, donc ça nous donne 0. C'est bizarre. Où se situe le problème? S'il vous plaît.

Fred · 03-05-2018 11:20:54

uni a écrit :

Ok. Pour le calcul de $F \delta'_0$ on a:soit $\varphi \in S(\mathbb{R})$:
$$
<F\delta',\varphi>_{S',S}= <\delta', F\varphi>=-<\delta,(F\varphi)'>=-(F\varphi)'(0)
$$
de manière générale on a $(F\varphi)'=-(F(x\varphi))$ mais là c'est au point 0, donc ça nous donne 0.

Pourquoi cela donnerait 0.... Ce n'est pas parce qu'une fonction s'annule en 0 que sa transformée de Fourier s'annule en 0!!!

F.

uni · 03-05-2018 11:38:03

mais parce que après, on utilise la règle de la dérivée de Fourier qui est
$$
(F\varphi)'(x)= -i(F(x \varphi))
$$
donc $(F\varphi)'(x)=0$. Non? Qu'est ce que je mélange?

Fred · 03-05-2018 12:39:57

Pourquoi est-ce que $F(x\varphi)(0)$ serait égal à $0$???

uni · 03-05-2018 20:16:17

Je ne comprend pas une chose. Quand on écrit
$$
(F\varphi)'= -iF(x \varphi)
$$
en fait $(F\varphi)'= (F\varphi)'(x)$?
Parce que moi je comprend que $(F \varphi)'(0)= -i (F(0\varphi))=0$, dans notre exemple je vois que $x=0$. C'est quoi l'écriture correcte? S'il vous plaît.

uni · 05-05-2018 13:07:13

J'ai revisé la définition et on a
$$
(F \varphi)'(\xi)= -i F(x \varphi)(\xi)
$$
Donc
$$
F(\delta')= - i x.
$$
Ma question maintenant concerne le calcul de $Fx$. On a par le précédent résultat que
$$
F x = -\dfrac{1}{i} FF(\delta').
$$
Le théorème d'inversion de Fourier concerne les fonction $L^1$: $f(x)= (2 \pi)^{-n} FF f(-x)$, donc on ne peut pas l'appliquer à $\delta'$. Est-ce qu'on s'arrête à
$
F x = -\dfrac{1}{i} FF(\delta').
$?
Ou bien quelle formule finale on peut donner?

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