Forum de mathématiques - Bibm@th.net

uni

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fonction bornée

Bonjour
je cherche à montrer que pour tout $\alpha \in \mathbb{N}$ et pour tout $l \in \mathbb{N}$ la fonction $x \to ||x||^l |D^{\alpha} e^{-x^2}|$ est bornée dans $\mathbb{R}$.
Bon on sait que pour tout $\alpha \in \mathbb{N}$ on a $D^{\alpha} e^{-x^2}= P_{\alpha}(x) D^{\alpha} e^{-x^2}$ où $P_{\alpha}$ est un polynôme d'ordre $\alpha$. On remarque aussi que pour tout $\epsilon >0$ il existe $A >0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ on a $|D^\alpha e^{-x^2}| \leq \epsilon$
par contre $||x||^l$ n'est pas borné, donc je n'arrive pas à trouver comment on montre que la fonction $x \to ||x||^l |D^{\alpha} e^{-x^2}|$ est bornée dans $\mathbb{R}$ est bornée.
Merci par avance.

Fred

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Re : fonction bornée

$D^{\alpha} e^{-x^2}= P_{\alpha}(x) D^{\alpha} e^{-x^2}$ où $P_{\alpha}$ est un polynôme d'ordre $\alpha$.

Ca ne t'avance pas beaucoup d'écrire cela comme ça. Tu n'aurais pas écrit un $D^{\alpha}$ en trop à droite???
Une fois cela fait, la conclusion suit un argument très simple (niveau Terminale...) de comparaison entre fonctions puissance et fonction exponentielle!

uni

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Re : fonction bornée

Oui c'est une faute de frappe. On a
$$
D^{\alpha} e^{-x^2}= P_{\alpha}(x) e^{-x^2}
$$
avec $P_{\alpha}$ un polynôme de degré $\alpha$.
Après ça, c'est argument m'échappe. Tout ce que je sais, c'est que la fonction exponentielle est plus rapide que n'importe quel polynôme y compris la fonction puissance. Comment cela pourra nous aider?

Fred

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Re : fonction bornée

Et au voisinage de $-\infty$????

uni

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Re : fonction bornée

Au voisinage de $-\infty$ pareil, $e^{-x^2}$tend vers 0 plus rapidement que $||x||^l$ qui tend vers $+\infty$