Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#1 25-04-2018 10:15:49
- Courage
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Formule du Binet
Bonjour,
Voici un problème dont j'ai un peu de mal pour résoudre :
On pose F0=0 et F1=1 et pour tout entier naturel n,
Fn+2=Fn+Fn+1
C'est la suite de Fibonnaci. avec une récurrence, on démontre que
[tex]F_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\varphi^{n}-\overline{\varphi}^{n}\right)[/tex]
où [tex]\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex] et [tex]\overline{\varphi}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex]
Maintenant, ce qui est plus difficile, c'est ça :
Soit [tex] x \in ]-\dfrac{1}{\varphi},\dfrac{1}{\varphi}[ [/tex]
Montrer que [tex]\underset{x \rightarrow \infty}{lim}F_{n}x^{n}=0[/tex]
Voici ce que je trouve :
Si [tex]x[/tex] appartient à un tel intervalle, il est évident que[tex]|x| < \dfrac{1}{\varphi}[/tex], d'où
[tex]\left|F_{n}x^{n}\right|< \dfrac{F_{n}}{\varphi^{n}}[/tex]
Les quelques manipulations suivantes sont faciles à comprendre :
[tex]\left|F_{n}x^{n}\right|< \dfrac{1}{\sqrt{5}\varphi^{n}}(\varphi^{n}-\overline{\varphi}^{n})[/tex]
[tex]\left|F_{n}x^{n}\right|< \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(1-\dfrac{\overline{\varphi}^{n}}{\varphi^{n}}\right)[/tex]
Mais là, on ne peut pas conclure. À l'infini, [tex]\dfrac{\overline{\varphi}^{n}}{\varphi^{n}}[/tex] tend vers 0...
Merci d'avance pour ceux qui voudront bien m'aider.
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#2 25-04-2018 20:55:48
- Roro
- Membre expert
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- Messages : 1 565
Re : Formule du Binet
Bonsoir,
Pourquoi ne pas simplement utiliser que les deux suites $(x^n\varphi^n)$ et $(x^n\overline{\varphi}^n)$ sont géométriques de raison $<1$ (en module) et donc converge vers $0$ ?
Roro.
Dernière modification par Roro (25-04-2018 20:56:23)
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#3 26-04-2018 15:40:00
- Courage
- Membre
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Re : Formule du Binet
Bonjour,
Merci beaucoup pour l'astuce.
Du coup tout devient trivial.
Après, il fallait quand même y penser !
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