[Résolu] DM Fonction racine carrée (dérivation)

Yuza · 21-04-2018 18:04:00

Bonjour,
Cela fait quelques heures que je cherche à finir mon DM de mathématique. J'ai déjà répondue aux premières questions 1, mais je bloque sur la la dernière question.

Voici l'énoncé :

Soit C_f, la courbe représentative de la fonction racine carrée dans un repère orthonormé (O; I; J)/
Soit A(3;0) et M, un point quelconque de C_f d'abscisse x. Ainsi, M(x;√x).
Le but de l'exercice est d'étudier la position de M₀ du point M tel que la distance AM soit minimale.

Je suis bloqué a cette question : Calculer la valeur exacte de x₀ de x pour laquelle la distance AM est minimale (soit AM₀)

J'ai d'abords pensé a trouver la tangente de M₀ passant par A avec pour coordonnées de M₀ (3-h);√3-h) [ j'ai pris en compte que a+h été égal à 3] , mais je suis tombé sur des résultats assez catastrophique.
Donc j'ai essayé R(h) = ( F(3-h+h) - f(3-h))/h)
= (√3 - √3-h)/ h = -h / h(√3 + √3+h).
Et je bloque là. Je doute le faire de la bonne façon.

Pourriez-vous me dire quelle méthode utiliser s'il vous plaît ?

yoshi · 21-04-2018 20:11:16

Bonsoir,

la tangente de M0 passant par A

Ça ne veut rien dire : la tangente d'un point, ça n'existe pas ; la tangente en un point, oui.
Mais ça ne suffit pas, il faut préciser tangente à quoi ?
A $C_f$ ? Si tu veux utiliser la tangente en M₀ à la courbe $C_f$ et passant par A, c'est peine perdue, cette tangente n'existe pas !!!

A ta place, je ferais ce que te dit l'énoncé : je chercherais la valeur de x pour laquelle la distance AM est minimale...
Je sais, tu as l'impression que j'enfonce une porte ouverte... Et pourtant, non !
En effet, je chercherais le minimum de AM, en utilisant AM².
[tex]AM^2=(x-3)^2+(\sqrt x -0)^2[/tex]
Soit [tex]AM^2=x^2-6x+9+x = x^2-5x+9[/tex]
Maintenant j'appelle g la fonction de [tex]\mathbb{R}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex] telle que [tex] g(x)=x^2-5x+9[/tex]
Pourquoi ?
Parce que [tex]AM^2[/tex] minimum [tex]\Leftrightarrow[/tex] AM minimum...
Et donc j'étudierais les variations de la fonction et j'en déduirais la valeur x₀ de x qui minimise f.
Calcul de [tex]g'(x)[/tex]. Pour $x=x_0$, on a [tex]g'(x_0)=0[/tex], la courbe passe par un extremum : à toi de prouver que c'est un minimum et non un maximum...

@+

tibo · 21-04-2018 21:14:29

Salut

▼@yoshi

Dernière modification par tibo (21-04-2018 22:53:06)

yoshi · 22-04-2018 07:56:35

Salut tibo,

Je sais qu'on demande aux élèves de calculer des dérivées presque par réflexe ; Une fonction ? Hop je dérive, et on verra après si ça me sert.

J'étais parti autrement, et j'ai changé d'avis en cors de route, en voyant le titre de son sujet...
Je complèterai tout à l'heure avec les autres méthodes.

@+

yoshi · 22-04-2018 09:13:47

Re,

Ainsi que l'a suggéré tibo, en dehors de l'emploi de la dérivée (peut-être d'ailleurs, vu le titre du sujet que c'est bien ce que ton prof attendait de toi ?), il y a d'autres méthodes.
La courbe représentative $C_g$ des variations de la fonction g est une parabole.
L'an dernier, tu as dû voir que [tex]y=ax^2+bx+c[/tex] étant l'équation d'une parabole
1. Le "sommet" de celle-ci a pour abscisse [tex]x=-\dfrac{b}{2a}[/tex]
2. Si a > 0 l'ouverture de la parabole est vers le haut, autrement dit, il y a décroissance sur [tex]\left]-\infty\,;\,-\dfrac{b}{2a}\right][/tex] et croissance sur [tex]\left[-\dfrac{b}{2a}\,;\,+\infty\right[[/tex].
Dans ce cas, le sommet est un minimum.
Si a < 0 l'ouverture de la parabole est vers le bas, autrement dit, il y a croissance sur [tex]\left]-\infty\,;\,-\dfrac{b}{2a}\right][/tex] et décroissance sur [tex]\left[-\dfrac{b}{2a}\,;\,+\infty\right[[/tex].
Dans ce cas, le sommet est un maximum.

Autre méthode.
En principe, l'an dernier encore, tu as apprendre à écrire un polynôme du 2nd degré sous sa forme canonique.
Je ne vais pas reprendre ici les calculs théoriques nécessaires (une recherche sur le forum te mènerait notamment à : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=7541)
Ici, ta forme canonique ressemblera à ceci : [tex]g(x)= (x+\alpha)^2+\beta[/tex], puisque a = 1.
Pour quoi faire ?
L'an dernier, tu as dû faire quelques exos sur ce principe, où tu as notamment été conduit à conclure que la plus petite valeur de [tex](x+\alpha)^2[/tex] était 0 obtenue pour [tex]x =-\alpha[/tex] et après tu concluais pour [tex]g(x)[/tex]...

@+

Yuza · 22-04-2018 13:52:48

Merci beaucoup pour votre aide.
En reprenant ce que Yoshi expliquait, j'ai bien obtenue :
AM²= x²-5x+9

Et j'ai complété par la forme canonique (Où j'ai fini par obtenir X₀= 2.5).
Cependant, au lieu de recopier bêtement vos explications, je n'ai pas compris pourquoi on utilise AM² ? Pour être plus "précise", je ne comprends pas ce qu'est G^(x)(=AM²)= x²-5x+9. AM² est censé être la distance AM au carré ? Que représente donc F(g) par rapport à AM ? Je ne sais pas si ma question est claire, mais je pense qu'il vaut mieux que je comprenne la chose ^^.
J'ai compris la suite des calculs, et comme l'a dit Tibo, mon chapitre en cours porte sur la dérivation, c'est pour cela que j'ai pris les choses à "l'envers" .
Merci :)

yoshi · 22-04-2018 14:13:43

Bonjour,

Yuza a écrit :

AM² est censé être la distance AM au carré ?

Ce n'est pas "censé être" (="supposé être"), mais c'est [tex]AM^2[/tex]
En effet, considérons un repère orthonormé (O, I, J) et deux points [tex]A(x_A\,;\,y_A)[/tex] et [tex]B(x_B\,;\,y_B)[/tex]...
Ne va pas le prendre mal, hein ?, mais dans le cours de 3e figure cette formule :
[tex]AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}[/tex]
Si je l'élève au carré, j'obtiens :
[tex]AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2[/tex]
$A(3\,;\,0)$ et B remplacé par $M(x\,;\,\sqrt x)$, je trouve bien :

[tex]AM^2=(x-3)^2+(\sqrt x - 0)^2[/tex]
Utiliser le carré de la longueur permet de s'affranchir de $\sqrt x$...

La formule de la longueur n'est pas que "bête et méchante", mais elle aussi un fondement : il suffit appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle AHB tel que [tex](AH)\perp (BH)[/tex] : [tex]AB^2=AH^2+HB^2[/tex].

Mais tu as raison, ça ne sert à rien de recopier sans comprendre ; j'aime bien rappeler cette citation de Rabelais : << Science sans conscience n'est que ruine de l'âme ! >>.

Ai-je été plus clair, cette fois ?

N-B : l'emploi de la méthode par dérivation, est parfaitement licite et correcte...

@+

PS : c'est quoi F(g) ? J'ai vérifié : je n'ai pas utilisé cette notation...
Ça, peut-être :

yoshi a écrit :

j'en déduirais la valeur x₀ de x qui minimise f.

Si oui, faute de frappe, toutes mes excuses : j'avais, emporté par l'habitude, appelé ma fonction f quand je me suis rendu compte que f était déjà pris : j'ai changé toutes mes occurrences de f en g : du moins le croyais-je puisque tu as mis la main sur le dernier f inchangé...
Si c'est bien cela, il faut lire : j'en déduirais la valeur x₀ de x qui minimise [tex]g(x)[/tex], sinon ça na pas de sens...

L'emploi de la fonction g que j'ai définie était là pour permettre d'utiliser les méthodes relatives aux fonctions (dont la dérivation)...

Yuza · 22-04-2018 14:44:42

Re, merci, cela m'a bien éclairé.

yoshi a écrit :

PS : c'est quoi F(g) ? J'ai vérifié : je n'ai pas utilisé cette notation...

C'est ma faute, je voulais écrire G(x) et non pas F(g) .

Donc, si j'ai bien compris, G(x) représente la longueur de AM², par rapport aux coordonnées de M sur F(x) ? Son extremum étant donc la longueur minimum de AM (et AM²) et donc les coordonnées de M ?

yoshi · 22-04-2018 15:10:18

Salut,

Donc, si j'ai bien compris, G(x) représente la longueur de AM2, par rapport aux coordonnées de M sur F(x) ?

Je ne suis pas trop sûr de comprendre ce que tu veux dire avec ton "par rapport aux coordonnées de M sur F(x)"
Disons, oui et non
Les coordonnées de M₀, non. Son abscisse, oui, puisque tu cherches à minimiser la distance AM avec [tex]M \in C_f[/tex] et [tex]f(x)=\sqrt{x}[/tex] : où vois-tu [tex]\sqrt x[/tex] dans l'expression [tex]x^2-5x+9[/tex] ?
Ordonnée de M₀ : [tex]\sqrt{\dfrac{5}{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}[/tex]
Oui, quand même, parce que pour trouver [tex]x^2-5x+9[/tex], j'ai bien utilisé les coordonnées de M... sauf que l'ordonnée de M est exprimée en fonction de $x$ son abscisse et que le $x$ de [tex]x^2-5x+9[/tex] est bien l'abscisse de ce point M...

g(x) représente la longueur de AM², par rapport aux coordonnées de M sur f(x)

AM² n'est pas une longueur, mais le carré d'une longueur...
Encore une fois coordonnées, formulation douteuse...
[tex](x\,;\,\sqrt x)[/tex] sont les coordonnées de n'importe quel point de la courbe représentative de la fonction racine carrée (avec x>=0, bien sûr)
Tu vois bien qu'une fois l'abscisse x₀ obtenue, pour avoir l'ordonnée de M₀, il faut calculer [tex]\sqrt{x_0}[/tex].
[tex]x_0[/tex] représente un extremum de la fonction g.
Ce n'est pas un extremum de [tex]\sqrt x[/tex], c'est l'abscisse [tex]x_0[/tex] du point M₀ de [tex]C_f[/tex] tel que la longueur AM est la plus courte.

Je m'absente 2 h...

@+

Dernière modification par yoshi (22-04-2018 18:34:01)

yoshi · 22-04-2018 18:23:07

Re,

Si je voulais faire le même travail en prenant [tex]h(x)=AM=\sqrt{x^2-5x+9}[/tex], j'aurais un peu plus de travail, ne serait-ce qu'avec h'(x):
[tex]h'(x)=\dfrac{2x-5}{\sqrt{x^2-5x+9}}[/tex].
C'est pourquoi, pour ne pas traîner une racine carrée, j'ai utilisé une fonction g telle que [tex]g(x)=AM^2= x^2-5x+9[/tex] et si AM² est minimum, AM l'est aussi.
Avec Geogebra, tu as constaté en déplaçant M sur $C_f$ que, la longueur AM diminuait, jusqu'à ce Que M arrive en M₀ pour réaugmenter après...
Le tout était de trouver x₀....
Pour ça, il fallait trouver une expression mathématique qui exprimait la longueur AM² au moyen (en fonction) de $x$ abscisse d'un point M quelconque de la courbe [tex]C_f[/tex]
Ce modèle mathématique autorise des calculs qui permettent de trouver le minimum de la fonction g...
Quand, lors du bulletin météo, le présentateur évoque les "modèles", il parle de fonctions mathématiques qui décrivent (plus ou moins bien) les déplacements des masses d'air chaud et froid, des nuages, les variations de pressions atmosphérique : c'est le même principe (en plus complexe), les fonctions mathématiques autorisent des calculs permettant de prévoir les situations 12 h, 24 h, 48 h... plus tard.
Plus l'échéance est lointaine, et plus le modèle mathématique risque de s'écarter notablement de la réalité.

@+

Yuza · 22-04-2018 21:20:16

Waa *0*
Et bien, merci énormément. J'ai tout compris et j'ai fini mon DM.

Je ne suis pas inscrite, je ne peux donc pas clore le sujet. Si je reviens, je m'inscrirai.

Merci encore et bonne soirée ! :)

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