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uni

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démonstration d'un lemme sur la transformée de Fourier

Bonjour,
je cherche à démontrer le lemme suivant:
Si $f$ et $g$ sont dans $L^1(\mathbb{R}^n)$ alors $f.(Fg)$ et $(Ff).g$ apartiennent à $L^1(\mathbb{R}^n)$ et on a
$$
\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} f(x) Fg(x) dx = \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} Ff(x) g(x) dx
$$
où $F$  note la transformée de Fourier?

Merci par avance pour toute piste.

Fred

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Re : démonstration d'un lemme sur la transformée de Fourier

Pour la première partie, c'est simple, la multiplication d'une fonction intégrable par une fonction bornée reste intégrable.

La seconde partie est beaucoup plus difficile.... Connais-tu la classe de Schwartz? Si oui, une méthode simple consiste à démontrer cette égalité lorsque les deux fonctions sont dans cette classe, en écrivant par exemple $f$ comme la transformée de Fourier d'une autre fonction $h$, et en utilisant le théorème de Plancherel et la formule d'inversion de la transformée de Fourier.
Dans tous les cas, je te conseille de lire un cours sur la transformée de Fourier.

F.