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uni

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convergence de la transformée de Fourier

Bonjour
je cherche à démontrer le lemme suivant: si $(f_n)$ est une suite qui converge dans $L^1(\mathbb{R}^n)$ vers $f$, alors $F f_n$ converge uniformément vers $F f$ dans $\mathbb{R}^n$, où $F$ note la transformée de Fourier.

Voici ma solution, je souhaite avoir vos remarques et vos appréciations.
Soit $(fn)$ une suite qui converge dans $L^1(\mathbb{R}^n)$ ce qui veut dire que $\lim_{n \to +\infty} \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} |f_n(x) -f(x)| dx =0$.
Montrer que $F f_n$ converge uniformément vers $Ff$ dans $\mathbb{R}^n$ revient à montrer que
$$
\forall \epsilon >0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall x \in \mathbb{R}^n, \forall n \geq n_0: |Ff_n(x)- Ff(x)| < \epsilon.
$$
Soit $\epsilon > 0$ et soit $x \in \mathbb{R}^n$. On a
\begin{align*}
|Ff_n(x)-Ff(x)|= |\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} e^{-i x \xi} f_n(\xi) d\xi - \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} e^{-i x \xi} f(x) dx|\\
&= |\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} (f_n(x) - f(x)) dx|\\
&\leq \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} |e^{-i x \xi}| |f_n(x) -f(x)| dx
\end{align*}
comme $|e^{-i x \xi}|=1$ alors
$$
|Ff_n(x)- Ff(x)| \leq \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} |f_n(x)-f(x)| dx \to 0 \mbox{ quand } n \to +\infty
$$
D'où la convergence uniforme de $Ff_n$ vers $Ff$ dans $\mathbb{R}^n$. C'est bien?
Merci par avance.

Dernière modification par uni (21-04-2018 19:04:46)

Fred

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Re : convergence de la transformée de Fourier

Bonjour,

Tu te mélanges complètement entre les $x$ et les $\xi$ dans les écritures de tes transformées de Fourier....

F.