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#1 17-04-2018 19:38:14

solidad01
Membre
Inscription : 17-04-2018
Messages : 1

les nombres complexes

Bonsoir tout le monde , j'èspre que vous allez bien , j'ai un problème avec la derniere question de mon exercice qui est le suivant :

On considère 3 points différents A , B , W d'affixes a , b et w.
Soit r la rotation du centre W et de l'angle pi/3. On pose P=r(A) et B=r(Q).
Soit p le nombre complexe l'affixe de P et q l'affixe de Q.

1)a-J'ai montré que :   q=w+e^i(-pi/3)(b-w) et p=w+e^i(pi/3)(a-w)

b) J'ai montré que (1-e^i(pi/3))/(1-e^i(-pi/3))=e^i(4pi/3)

c) J'ai montré que (p-a)/(q-b)=(w-a)e^i(4pi/3)/w-b

2) On suppose que (w-a)/(w-b)=e^i(2pi/3)

a) J'ai montré que APQB est un parallélograme.

b) Maintenant la question qui pose problème ! : Montrer que Arg((b-a)/(p-a))= pi/2 [2pi]

Je n'arrive pas à trouver une relation entre b-a et p-a :( si vous pouviez m'aider mercii

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#2 19-04-2018 11:32:26

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 470

Re : les nombres complexes

Salut.

Une voie possible pour le 2b

Avec (w-a)/(w-b)=e^i(2pi/3), l'angle BWA = 2Pi/3  (1)
Avec P=r(A), l'angle AWP = Pi/3

angle BWP = angle BWA + angle AWP = 2Pi/3 + Pi/3 = Pi
--> les points P, W et P sont alignés.

De manière analogue, on montre que les points Q,W et A sont alignés.

Commme les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leurs milieux, W est le centre du parallélogramme.
On a donc QW = WA et PW = WB
mais on a aussi WA = PW (puisque  P=r(A))

--> WA = WB et le triangle BWA est isocèle en W , donc : angle(WAB) = angle(WBA) (2)

Dans le triangle BWA : angle(WAB) + angle(WBA) + angle(BWA) = Pi (la somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle est égale à Pi)

Avec (1) et (2), on a alors : 2.angle(WAB) + 2Pi/3 = Pi

angle(WAB) = Pi/6  (3)

Le triangle AWP est équilatéral (puisque angle PWA = Pi/3 et PW = WA car P = r(A)) --> angle(PAW) = Pi/3

et comme angle(PAB) = angle(PAW) + angle(WAB)

angle(PAB) = Pi/3 + Pi/6 = Pi/2

--> Arg((b-a)/(p-a))= pi/2 [2Pi]

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