Congruence

hicham alpha · 08-04-2018 12:20:26

Salut

Je veux bien que quelqu'un m'aidera à résoudre un exercice. Merci d'avance.

Déterminer la forme générale des entiers naturels n tels que le nombre entier A=n³ - n +1 soit divisible par 7.

Bonne journée

Hicham

yoshi · 08-04-2018 20:11:29

Salut,

[tex]n^3-n-1\equiv 0 \;[7]\;\Leftrightarrow\;n^3-n\equiv 1 \;[7]\;\Leftrightarrow\;n(n^2-1)\equiv 1 \;[7]\;\Leftrightarrow\;(n-1)n(n+1)\equiv 1 \;[7][/tex]

A toi...

@+

hicham alpha · 08-04-2018 23:46:46

Bonjour
merci pour votre réponse Yoshi :)

n3−n+1≡0[7]⇔n3−n≡-1[7]⇔n(n2−1)≡-1[7]⇔(n−1)n(n+1)≡-1[7] (1)
il me semble que je dois utiliser un tableau de classe d'équivalence de Z/₇Z.
je pense que je ne peux pas le dessiner ici. bref, j'ai trouvé que si n≡2[7] l'équation (1) est vérifié.
est-ce vrai ?

et merci pour votre réponse.

bonne journée
Hicham

yoshi · 09-04-2018 07:40:39

Salut,

Si n=2, alors [tex](n-1)n(n+1)=1\times 2\times 3=6 \;\text{ et }\;6 \equiv 6\; [7][/tex]. Or [tex]6 \neq 1\cdots[/tex]

Tu as donc la réponse à la question que tu me poses...

@+

hicham alpha · 09-04-2018 10:25:59

Salut,

je pense qu'on veut arriver à (n-1)n(n+1)≡-1[7]. Puisque A=n³ - n +1.
alors, si n=2, alors (n−1)n(n+1)=1×2×3=6 et 6≡-1[7].

je voulez vous demander monsieur de me proposer un exercice classique en arithmétique qui fait intervenir : Bezout, gauss, petit theoreme de Fremat, congruence, les nombres premiers, système de numération, PPCM, PGCD,.. puis je vais le poster en essayant de le résoudre.(s'il vous plait)

merci pour votre réponse.
Hicham

yoshi · 09-04-2018 12:56:10

Re,

Erreur de lecture de ma part :
J'ai lu (et fait mes calculs avec) [tex]n^3-n-1[/tex] alors que c'était [tex]n^3-n+1[/tex].
Toutes mes excuses, tu avais raison : [tex]S=\{n=2+7k,\;k\in \mathbb{N}\}[/tex] c'est un peu plus facile.
S : ensemble des solutions.

Mais rien ne t'empêche de le refaire avec [tex]n^3-n-1[/tex] ^_^

Voici 4 extraits d'exos d'Arithmétique Bac S - Enseignement de Spécialité extraits d'Annales qui commencent à dater (mais le dicton populaire ne dit-il pas ; c'est dans les vieilles casseroles qu'on fait les meilleures soupes ?).
Voilà où ils sont :
https://www.cjoint.com/c/HDjkyglRDf2

J'en ai encore 47 exos d'arithmétiques figurant dans des annales, je n'ai pas encore regardé ce qui colle à tes demandes...
En tout, j'ai 88 extraits d'Annales enseignement de spécialité Arithmétique + Transformations (dans un .pdf), triées (on sait si l'annale en question comporte arithmétique, transformations ou les deux...) cadeau d'un copain qui fut prof de maths en TS...

@+

hicham alpha · 09-04-2018 14:12:11

Bonjour

aucun raison d'excuser, c'est normal.
merci pour les 4 extraits que vous avez mentionné. je vais essayer de résoudre un de ces extraits et le poster ici si j'aurai besoin de votre aide. ( parmi ces 4 extraits, pourriez vous me proposer un pour le résoudre ? )
je veux bien que vous puissiez m'envoyer les 47 extraits d'arithmétique et les 88 extraits d'Annales enseignement de spécialité Arithmétique + Transformations.

merci beaucoup.

Hicham

yoshi · 09-04-2018 16:10:28

Salut,

Envoi fait.
Pour ta demande de suggestion, commence donc par le sujet qui porte le n° 7...

@+

hicham alpha · 09-04-2018 16:31:09

salut;
okay, je vais essayer de le résoudre aussitôt que possible.

je n'ai pas pu trouer ce que tu m'a envoyé. où ?

merci beaucoup

bonne journée.
H

yoshi · 09-04-2018 16:40:34

Salut,

Je l'ai envoyé sur l'adresse gmail que tu as utilisée pour t'inscrire...
Patiente encore un peu ! no-log.org site lequel est mon mail pou BibMaths, n'est parfois pas très rapide, à moins que l'adresse que j'ai utilisée (la tienne) ne soit plus valable...

@+

hicham alpha · 09-04-2018 17:18:56

Merci

Mon adresse email est valable. ( mais je n'ai pas reçu aucun message)

On doit avoir de la patience, peut être le site est lent.

Bonne journée

Dernière modification par hicham alpha (09-04-2018 17:19:38)

yoshi · 09-04-2018 18:17:44

Salut,

Le fichier a été envoyé à 15 h 54...

On va gagner du temps et faire autrement :
https://www.cjoint.com/c/HDjqnTWKYQ2
Une fois le document affiché à l'écran, clique bouton droit dessus.
Et tu choisis de l'enregistrer sur ton disque dur ou clé USB...
Lien valide 4 jours...

@+

hicham alpha · 09-04-2018 19:09:50

Salut,
aucun fichier est reçu encore.
mais la méthode du lien internet fonctionne bien, Merci bien. Je l'ai enregistré.

bonne journée.

H

yoshi · 17-04-2018 18:55:56

Salut,

Tu m'as écrit avoir fait cet exercice : peut-on voir ce que tu as répondu ?

@+

hicham alpha · 18-04-2018 15:55:38

Bonjour
je suis heureux car tu as pu lire mon message, mais pourquoi tu ne réponds pas monsieur ?

je vais poster tout d'abord l'énoncé : ( il vaut mieux, je pense )(j'espère que je n'ai pas fait une faute lors de copiage )

1.On considère l’équation (E) : 109x−226y=1 où x et y sont des entiers relatifs.
a.Déterminer le pgcd de 109 et 226. Que peut-on en conclure pour l’équation (E) ?
b.Montrer que l’ensemble de solutions de (E) est l’ensemble des couples de la forme (141+226k,68+109k), où k appartient à Z.
En déduire qu’il existe un unique entier naturel non nul d inférieur ou égal à 226 et un unique entier naturel non nul e tels que 109d=1+226e. (On précisera les valeurs des entiers d et e.)
2.Démontrer que 227 est un nombre premier.
3.On note A l’ensemble des 227 entiers naturels a tels que a ⩽226.
On considère les deux fonctions f et g de A dans A définies de la manière suivante :
à tout entier de A, f associe le reste de la division euclidienne de a¹⁰⁹ par 227.
à tout entier de A, g associe le reste de la division euclidienne de a[tex]141[/tex] par 227.
a.Vérifier que g[f(0)]=0.
On rappelle le résultat suivant appelé petit théorème de Fermat :
Si p est un nombre premier et a un entier non divisible par p alors
a^p-1≡1 modulo p.
b.Montrer que, quel que soit l’entier non nul a de A, a²²⁶≡1 [modulo227].
c.En utilisant 1. b. , en déduire que, quel que soit l’entier non nul a de A. g[f(a)]=a.
Que peut-on dire de f[(g(a)]=a?

hicham alpha · 18-04-2018 16:44:13

je propose ceci comme réponse :
1))
a) j'ai trouvé que pgcd(109,226)=1. alors ( puisque 1divise 1) l’équation (E) admet des solution dans Z.
b)on a 109*141−226*68=1. alors 109*141−226*68 = 109x−226y, donc 109(x-141) = 226(y-68).
on en déduit que 226 divise 109(x-141) , or pgcd(109,226)=1, et alors, d'après le théorème de Gauss : 226 divise x-141.
et enfin ; il existe un k appartient à Z tel que : x=226*k + 141.
en remplaçant x par 226*k + 141, on obtient y= 68+109k. alors ; l’ensemble de solutions de (E) est l’ensemble des couples de la forme (141+226k,68+109k), où k appartient à Z.
c) 0<d ⩽226 alors 0<141+226k⩽226, d'où k=0. alors d=141, et par conséquent e=68.
2))
a) on a racine de 227 égal à 15,066... et tous les nombres premier inférieur à 15 ne divise pas 227. on en déduit que 227 est un nombre premier.
3))
a)f(0) = 0. et g(0) = 0. alors g[f(0)] = 0.
b)on a 227 est un nombre premier, et a n'est pas divisible par 227( car 0<a<227, 227 ne peut pas diviser a ). alors d'après le petit théorème de Fermat : a²²⁶≡1 modulo 227.
c) f[(g(a)] = x. tel que a¹⁰⁹≡y modulo 227, et y¹⁴¹≡x modulo 227. ( 0<x<227 et 0<y<227)
x≡a^109*141 modulo 227. alors x≡a^1+226*68 modulo 227. et puisque a^226*68≡1 modulo 227 alors x≡a modulo 227. on a 0<a<227 alors x=a.
on en déduit que f[(g(a)]=a.
f[(g(a)] est une application identité de A vers A.

merci pour votre temps.

yoshi · 18-04-2018 17:03:37

Bonjour,

C'est bien.
A mon goût, tu as toujours un petit déficit d'explications.
Comment progresser en maths en général, et en arithmétique en particulier ? m'avais-tu demandé...
Alors là, il y a très peu de secrets.
Pour moi, ça se résume à "manger" des exercices supplémentaires jusqu'à l'overdose et prioritairement ceux dont l'énoncé ne te paraissent pas sympathiques et quand on coince, chercher un petit coup de pouce pour avancer.
Cela fait, l'exercice terminé, il faut se demander ce qui dans l'énoncé aurait dû te faire penser au chemin à emprunter...

@+

hicham alpha · 18-04-2018 17:10:27

Merci pour ta réponse.
oui, je vais essayé de "manger" des exercices supplémentaires jusqu'à l'overdose haha.

bonne journée

yoshi · 18-04-2018 18:53:12

Salut,

J'avais oublié !
As-tu déjà bien regardé un chien qui ronge son os sur lequel figure encore des morceaux de viande ??
Il le fait consciencieusement, il rogne morceau après morceau, s'acharnant parfois sans se décourager, jusqu'au bout...
Je n'irais pas essayer de le lui enlever (même pour jouer) tant qu'il n'a fini.
Le chien, c'est toi, l'os c'est l'exercice...

Il faut l'imiter, tourner, retourner sans cesse l'exercice et son énoncé, mot par mot, en te demandant s'il n'y en a pas un qui aurait un sens caché... Retourne lire les définitions du cours qui ont un rapport avec l'exercice, en te demandant en quoi tout ça peut bien s'appliquer à l'exercice...
Le mot d'ordre doit être : ne pas lâcher prise !

Quand tu auras digéré ^_^ un certain nombre d'exercices sur le même thème, essaie de trouver ce qu'ils ont en commun, en quoi ils varient les uns des autres : tu finiras par découvrir qu'il y a une trame, (un squelette) sous-jacente qui est la même et qu'on a "habillé" ce squelette de diverses manières...

C'est comme ça que j'ai procédé quand, 30 ans après, j'ai voulu retrouver mon niveau : je m'étais engagé auprès de mes 3e à leur fournir un SAV ("Service Après Vente" ;-D ) de 3 ans "pièces et main d’œuvre", il a bien fallu que je tienne parole !
J'ai bossé avec le bouquin "Interros des Lycées" que je recommande régulièrement...
Tu peux le feuilleter - en ligne -, là : https://livre.fnac.com/a7933932/Daniele … specialite

@+

hicham alpha · 18-04-2018 20:53:48

salut,

Merci beaucoup pour tes conseils et ta sagesse. en fait, tu es sage ^_^
j'ai aussi aimé la conseil donnée par le livre : après résoudre un exercice, il faut le généraliser et le compliquer.(woow, c'est tellement intéressante )

je vous remercie beaucoup.
Hicham

Dernière modification par hicham alpha (19-04-2018 00:39:24)

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