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#1 15-04-2018 11:43:29

X2
Membre
Inscription : 15-04-2018
Messages : 2

Combien de solution a X^2 = A

Bonjour,

Soit A appartenant à Mn(R)

Combien de solution y'a t'il à l'équation X^2 = A ?

Cordialement

Hors ligne

#2 15-04-2018 17:00:52

Roro
Membre
Inscription : 07-10-2007
Messages : 609

Re : Combien de solution a X^2 = A

Bonjour,

Ça dépend ? En général il peut y en avoir entre 0 et 2n... [Effectivement, je modifie mon message, il peut bien y avoir entre [tex]0[/tex] et [tex]2^n[/tex] solutions... Merci Yassine pour avoir détecté cette coquille !]

Qu'as-tu essayé ?

Dans quel cadre te demande-t-on cela ?

Roro.

Dernière modification par Roro (15-04-2018 19:45:02)

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#3 15-04-2018 17:48:51

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Combien de solution a X^2 = A

Bonsoir,
@Roro, je dirais plutôt entre $0$ et $2^n$ non ?
Prenons le cas où $A$ est diagonale. Pour former $\sqrt{A}$, on a pour chaque entrée $i$ le choix entre $+\sqrt{\lambda_i}$ et $-\sqrt{\lambda_i}$ (en supposant bien sûr que chaque $\lambda_i \ge 0$)


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#4 15-04-2018 18:46:27

X2
Membre
Inscription : 15-04-2018
Messages : 2

Re : Combien de solution a X^2 = A

Dans un exercice on à diagonalisé A de la manière suivante : A = PDP^-1

Ensuite on a construit la matrice diagonale E qui comporte la racine des valeurs de propres de A (avec bien-sur les valeurs propres positives), soit E^2 = D.

On peut alors construire la matrice B tq B^2 = A de la manière suivante : B = PEP^-1

C'est pourquoi ma question est assez générale, que se passe t'il si des valeurs propres sont négatives ? Y'a t'il un moyen de trouver le nombre de solutions juste en étudiant A ?

Cordialement

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#5 15-04-2018 19:47:21

Roro
Membre
Inscription : 07-10-2007
Messages : 609

Re : Combien de solution a X^2 = A

Re-bonsoir,

Une fois que tu as diagonalisé ta matrice, tu te rends donc compte que tout se passe comme si tu étais dans le cas de l'équation [tex]x^2=a[/tex] avec [tex]a\in \mathbb R[/tex] (et ceci pour chaque élément de ta matrice diagonale).

Selon le signe de $a$ tu auras des racines éventuellement complexes...
Roro.

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