Forum de mathématiques - Bibm@th.net

FaDa2Geom3

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Distance entre 2 ellipses ?

Voilà un pb que je n'ai pas résolu depuis 25 ans.
Cette distance est la longueur du segment commun perpendiculaire aux 2 ellipses. Segment perpendiculaire commun aux 2 ellipses implique que les tangentes aux 2 ellipses à ces extrémités sont parallèles. Le segment est donc bissecteur de l'angle formé par les 2 rayons dans chaque ellipse.
Mais comment y arriver ?
Merci d'avance.

Roro

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Re : Distance entre 2 ellipses ?

Bonjour,

Que veux-tu faire exactement ?
Tu veux exprimer cette distance ? En fonction de quoi ?
Comment sont décrites tes ellipses ? (paramétrée, foyer/directrice, ...) ?

Roro.

FaDa2Geom3

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Re : Distance entre 2 ellipses ?

Bonsoir,
Je veux connaître la distance minimale entre 2 ellipses. Ca passe par le tracé du segment perpendiculaire aux deux et en mesurer sa longueur. Toutes les données des ellipses peuvent être utilisées : foyers, directrice, cercles principales et directeur, transformations conduisant aux ellipses ... tout ! Je sais que c'est possible en analytique, mais avec la règle et le compas ... ?
Cdlt.

Roro

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Re : Distance entre 2 ellipses ?

Bonsoir,

Ce n'est toujours pas très clair pour moi.
En gros, tu es convaincu que de manière analytique, on va pouvoir le faire (il faut se retrousser les manches mais on pourrait trouver une formule, sans doute moche).
Par contre, il faut que tu précises ton histoire de règle et de compas : déjà, tracer une ellipse à la règle et au compas me parait un brin compliqué...

Roro.

FaDa2Geom3

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Re : Distance entre 2 ellipses ?

Salut Roro,
Aujourd'hui la règle et le compas sont remplacés par les logiciels Geogebra, Geolabo, Geospace, Carmetal, ... et d'autres. Mais il ne s'agit pas de bien dessiner la solution, mais de trouver la démonstration pour arriver au résultat. "Raisonner juste sur une figure fausse" comme les Grecs où les peuples du moyen Orient ou de la Mésopotamie le faisaient au début de la géométrie.
Merci pour porter intérêt à ce pb.

Wiwaxia

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Re : Distance entre 2 ellipses ?

Bonjour,

Je n'ai pas vu à ce problème de solutions autres que numériques, par la recherche d'un minimum ou d'un zéro sur une fonction dépendant d'une ou deux variables.

Soit deux ellipses dont l'une est centrée sur l'origine et l'autre au point (C) de coordonnées (X_c, Y_c), admettant pour équations paramétriques respectives:
# (x = A₁.Cos(s) , y = B₁.Sin(s + u)                 pour la première;
# (x = A₂.Cos(t) + X_c , y = B₂.Sin(t + v)  + Y_c) pour la seconde,
où interviennent huit termes constants (A₁, A₂, B₁, B₂, X_c, Y_c, u et v).

La dérivation par rapport aux paramètres correspondants (s, t) conduit aux vecteurs tangents (T₁, T₂):
# T₁ = (T_1x = -A₁.Sin(s) , T_1y = B₁.Cos(s + u)) ,
# T₂ = (T_2x = -A₂.Sin(t) , T_2y = B₂.Cos(t + v)) .

La longueur (L) d'un segment (MN) dont les extrémités appartiennent à chacune des courbes résulte de l'application du théorème de Pythagore: L = ((x_M  - x_N)² + (y_M  - y_N)²)^1/2 ,
et toute recherche d'extremum s'obtient par différentiation:
L² = MN² = (MN|MN) avec: MN = ON - OM , d'où:
dL² = 2*(MN|dMN) = 2*((MN|dON) - (MN|dOM)) = 2*(MN|T₂)*dt - 2*(MN|T₁)*ds .

Un extremum de la distance (L) se caractérisant localement  par dL² = 0 quelles que soient les valeurs des variations élémentaires indépendantes (ds, dt), il vient: (MN|T₁) = 0 et (MN|T₂) = 0 ;
les tangentes aux points (M) et (N), toutes deux perpendiculaires au segment (MN), sont parallèles entre elles.

Que peut-on envisager pour la localisation du minimum de la distance L = MN ?

1°) La recherche du minimum de la fonction de deux variables L² = F(s, t); sujet de programmation classique, zone d'exploration facilement localisable, mais précision du résultat très décevante (par ex. 10^-9 au lieu de 10^-18), parce qu'il faut rechercher le sommet d'un paraboloïde.

2°) La recherche du minimum nul pour la grandeur G(s, t) = ((MN|T₁)² + (MN|T₂)²)^1/2  , qui n'est autre que la norme du vecteur Grad(L²/2) dans le repère de coordonnées (s, t);
il n'est pas exclu de travailler sur des grandeurs apparentées (mais de calcul plus simple) telles que G₁(s, t) = Abs(MN|T₁) + Abs(MN|T₂) , dont l'annulation implique aussi les deux égalités caractéristiques établies plus haut.

3°) La recherche du zéro de la fonction H(p) exprimant le produit scalaire H = (MN|T₁) en fonction de la pente commune aux deux tangentes parallèles: p = (T_1y / T_1x) = (T_2y / T_2x) , de laquelle dépendent les paramètres de position des points (M, N):
Tan(s) = Cos(u)/(Sin(u) - p*A/B)  ;  Tan(t) =  Cos(v)/(Sin(v) - p*C/D) .

Dernière modification par Wiwaxia (15-04-2018 05:09:21)

FaDa2Geom3

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Re : Distance entre 2 ellipses ?

Merci Wiwaxia pour ta contribution. J'ai compris le cheminement de ta recherche bien que je n'ai pas pratiqué ces notions depuis les classes préparatoires, soit bientôt 50 ans. Je me lancerais un jour dans une vérification numérique.
Je suis persuadé qu'il existe une solution graphique sinon ce serait très fondamentalement illogique dans les mathématiques qu'une existe sans l'autre. Prochainement je joindrai une figure de la solution à l'aide du logiciel Géogebra pour aider à comment y parvenir et susciter peut-être l'intérêt d'autres mathématiciens-géomètres.
Cordialement.

Camille23

Invité

Re : Distance entre 2 ellipses ?

Bonjour,

On sait construire à la règle et au compas le tangente en un point d'une ellipse
On sait contruire une tangente à une ellipse parallèle à une droite donnée
Ayant deux tangentes parallèles avec leur point de contact sur chacune des deux ellipses,
que voulez-vous faire ?

FaDa2Geom3

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Re : Distance entre 2 ellipses ?

Merci Camille de vous être intéressé à ce problème.

A partir de là, je veux que la distance soit minimale entre les deux points de contact des tangentes sur chacune de leur ellipse. Ca me donnera la distance minimale entre les deux ellipses.

Cordialement.

FaDa2Geom3

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Re : Distance entre 2 ellipses ?

Camille23, voilà ci-joint votre construction réalisée avec Geogebra.

http://pix.toile-libre.org/upload/origi … 795592.png

Sommaire de la construction :

- ellipse bleue ABC,
- bissectrice extérieure de BCA est la tangente au point C.

- ellipse rouge DEF.
Où placer sa tangente parallèle ? On sait que symétrique du foyer D par rapport à cette tangente se trouve sur le cercle directeur. On construit donc le cercle directeur. (cercle auscultateur de centre I passant par D donne le point M ; cercle de centre E passant par M est le cercle directeur)
- perpendiculaire à la tangente bleue depuis le foyer D coupe cercle directeur en O ; perpendiculaire à OD en P milieu de OD est la tangente à l'ellipse rouge.
- point de contact tangente et ellipse rouge ? On sait que depuis un foyer on voit sous un angle droit la portion de tangente située entre son point de contact avec l'ellipse et son point d'intersection avec la directrice. On construit donc la directrice rouge qui est la polaire du foyer D par rapport au cercle principal. La tangente la coupe en U. Du foyer D on mène la perpendiculaire à DU qui coupe l'ellipse rouge en Q, point de contact de la tangente et de l'ellipse rouge.

Le pb revient donc à minimise la distance CQ comme représenté approximativement dans l'image ci-dessous (par déplacement du point C jusqu'a  ce que la bissectrice de BAC passe par Q.)

http://pix.toile-libre.org/upload/origi … 797790.png

Mais comment parvenir à cette construction sans connaître C et Q ?

Cordialement.