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Discussion fermée
#1 09-04-2018 16:24:40
- Binks
- Invité
Aide exercice composition de fonctions
Bonjour à tous,
Dans un exercice, je bloque un peu sur cette question.
On a les fonctions [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] telles que :
[tex]\forall x \in [-1,1], f(x) = \arcsin(2x\sqrt{1-x^2})[/tex] et [tex]\forall x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}], g(x) = \sin(x)[/tex].
Il faut déterminer l'application [tex]f \circ g[/tex]. Il me semble que l'on a :
[tex]\forall x \in [-1,1], h(x) = f(g(x)) = \arcsin(2\sin(x)\sqrt{1-\sin(x)^2})[/tex] ce qui en développant donne [tex]2x[/tex] si je ne me trompe pas.
Il faut alors en déduire une expression plus simple de [tex]f[/tex]. Et c'est là que j'ai un peu de mal.. Pourriez-vous m'aider ?
Merci beaucoup.
#2 09-04-2018 20:06:12
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : Aide exercice composition de fonctions
Bonsoir,
Tu as donc $f(g(x))=2x$, si tu poses $u=g(x)$, donc $x=g^{-1}(u)$
Tu as alors $f(u)=2x=2g^{-1}(u)=2\arcsin(u)$
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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#3 09-04-2018 20:50:55
- Binks
- Invité
Re : Aide exercice composition de fonctions
Merci Yassine pour cette technique.
Par curiosité, je remarque que la première définition de [tex]f[/tex] a ses valeurs dans [tex]]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[[/tex] et que la deuxième est dans [tex]]-\pi, \pi[[/tex], cela est-il gênant, i.e. cela veut-il dire que la seconde définition de [tex]f[/tex] est fausse ?
D'autre part, je remarque que ces deux définitions n'ont pas la même représentation graphique, et pourtant le raisonnement semble juste, saurais-tu dire pourquoi ?
Merci beaucoup.
#4 10-04-2018 06:34:05
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 947
Re : Aide exercice composition de fonctions
Bonjour,
Depuis hier soir :
$\forall x$ [tex]\in [-1,1][/tex], [tex]h(x) = f(g(x)) = \arcsin(2\sin(x)\sqrt{1-\sin(x)^2})[/tex]
me chiffonne...
Pour moi, c'est $\forall x$ [tex]\in \left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right][/tex] : ici x est un angle...
Exemple.
Je pose
[tex]x= 0.9659258262890683\; \left(\approx \sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\right)[/tex]
[tex]X=\dfrac{5\pi}{12}[/tex]
[tex]\arcsin(2x\sqrt{1-x^2})\approx 0.5235987755982985[/tex] ici x est un sinus donc [tex] x\in[-1\,;\,1][/tex]
[tex]\arcsin(2\sin(X)\sqrt{1-sin^2(X)}\approx 0.5235987755982985[/tex] ici X est un angle donc [tex]X \in\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right][/tex]
Et donc [tex]2X \in[-\pi\,;\,\pi][/tex]
Mais cela cela change pas le domaine de définition de f(g(X)) ou celui de f(x).
@+
Dernière modification par yoshi (10-04-2018 07:54:29)
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#5 10-04-2018 15:14:03
- Binks
- Invité
Re : Aide exercice composition de fonctions
Bonjour,
Merci pour votre réponse.
Bien sûr.. c'est [tex]\forall x \in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[, f(g(x)) = \; ...[/tex]
Par contre, je remarque que selon la définition de la composée de [tex]g[/tex] par [tex]f[/tex], on devrait avoir le même ensemble d'arrivée pour [tex]f[/tex] et [tex]f \circ g[/tex].. Et je ne comprends pas bien pourquoi cela n'est pas le cas..
#6 12-04-2018 22:55:47
- Binks
- Invité
Re : Aide exercice composition de fonctions
Une idée d'explication ?
#7 14-04-2018 12:11:54
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : Aide exercice composition de fonctions
Bonjour,
Je pense que l'erreur vient de ton premier calcul, à savoir que $f(g(x))=2x$. Tu as dû utiliser à un moment le fait que $\arcsin(\sin(2x))=2x$. Or, ça n'est vrai que si $2x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, et donc que $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.
Tu devra donc distinguer trois cas :
1) $x \in [-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4}]$
2) $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$
3) $x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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#8 14-04-2018 18:15:36
- Binks
- Invité
Re : Aide exercice composition de fonctions
Bonjour,
Oui, la vilaine erreur... Merci encore pour ta réponse.
Je vois que graphiquement, dans les autres cas, la composée vaut [tex]-2x[/tex].
J'ai pensé à écrire :
1) si [tex]2x \in [\pi,-\frac{\pi}{2}][/tex] alors [tex]2x+\pi \in [0,\frac{\pi}{2}][/tex] et donc [tex]\arcsin(\sin(2x+\pi)) = \arcsin(-\sin(2x)) = -2x[/tex]
3) si [tex]2x \in [\frac{\pi}{2}, \pi][/tex] alors [tex]2x+\pi \in [-\frac{\pi}{2},0][/tex] et donc [tex]\arcsin(\sin(2x+\pi)) = \arcsin(-\sin(2x)) = -2x[/tex]
Penses-tu que cela est juste ?
#9 14-04-2018 19:11:49
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 470
Re : Aide exercice composition de fonctions
Salut,
f(g(x)) = arcsin(2.sin(x).V(1-sin²(x)) pour x compris dans [-Pi/2 ; Pi/2]
Comme sur [-Pi/2 ; Pi/2], on a : cos(x) = V(1 - sin²(x)) (car positif), on a :
f(g(x)) = arcsin(2.sin(x).cos(x)) pour x compris dans [-Pi/2 ; Pi/2]
f(g(x)) = arcsin(sin(2x)) pour x compris dans [-Pi/2 ; Pi/2]
MAIS ATTENTION, on n'a pas arcsin(sin(2x)) = 2x
Pour t'en persuader essaie par exemple de calculer (à la calculette) pour x = 1 (qui est bien compris dans [-Pi/2 ; Pi/2])
arcsin(sin(2*1)) = 1,14159... qui n'est pas égal à 2x = 2*1 = 2 (ni égal à -2x = -2)
On a bien arcsin(sin(2x)) = 2x pour x compris dans [-Pi/4 ; Pi/4] ...
Mais il te reste à réfléchir pour x compris dans [-Pi/2 ; -Pi/4[ et dans ]Pi/4 ; Pi/2]
... et pour ces intervalles, la réponse n'est pas -2*x comme tu le suggères.
Petite aide complémentaire :
Si on reprend le calcul pour x = 1:
arcsin(sin(2*1)) = 1,14159...
-2x = -2
on n'a pas 1,14159... = -2, mais en regardant bien on a -2 + Pi = 1,14159...
Ce n'est pas un hasard.
Et pense aussi à faire un calcul (calculette) par exemple pour x = -1 ...
Cela devrait te mettre sur la voie.
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#10 14-04-2018 21:00:45
- Binks
- Invité
Re : Aide exercice composition de fonctions
Merci beaucoup pour ta réponse.
Après réflexion, on pourrait plutôt dire que :
1) si [tex]x \in ]\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}], \arcsin(\sin(2x)) = -2x +\pi[/tex]
2) déjà vu
3) si [tex]x \in [-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{4}[, \arcsin(\sin(2x)) = -2x -\pi[/tex]
Je ne mets pas tout le raisonnement, mais cela semble plus juste n'est-ce pas ?
En tous cas, cela a l'air de résoudre les interrogations graphiques que j'avais, et d'obtenir une simplification exacte de [tex]f[/tex], pour les trois intervalles déterminés..
#11 15-04-2018 10:24:56
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : Aide exercice composition de fonctions
Bonjour,
Oui, ça me parait correct.
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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