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#1 13-04-2018 02:14:21

Binks
Invité

Démonstration d'une inégalité

Bonjour,

Je cherche à montrer que pour des réels [tex]a,b > 1[/tex], on a [tex]\frac{\ln(a) + \ln(b)}{2} \le \ln(\frac{a+b}{2})[/tex].
Je pensais avoir réussi, mais je me suis rendu compte que mon raisonnement était faux. Après plusieurs nouvelles tentatives, je n'y arrive pas.
J'ai pensé, est-ce qu'il est possible de fixer par exemple [tex]b[/tex] et de dériver par rapport à [tex]a[/tex] une fonction qui vaudrait la différence des deux quantités en question ? Ou bien y aurait-il un moyen plus simple ?

Au final, je veux montrer que [tex]\sqrt{\ln(a)\ln(b)} \le \ln(\frac{a+b}{2})[/tex] et j'ai déjà que [tex]\sqrt{\ln(a)\ln(b)} \le \frac{\ln(a) + \ln(b)}{2}[/tex].

Merci beaucoup pour votre aide.

#2 13-04-2018 07:55:27

D_john
Invité

Re : Démonstration d'une inégalité

Salut,

Voir ton cours sur les fonctions convexes... et compare le log de la moyenne et la moyenne des log.

#3 13-04-2018 14:00:59

Binks
Invité

Re : Démonstration d'une inégalité

Bonjour,

Merci pour votre réponse. Je n'ai pas de cours sur les fonctions convexes, mais je vais faire des recherches en ce sens.

#4 13-04-2018 14:38:15

Binks
Invité

Re : Démonstration d'une inégalité

Je ne comprends pas trop en fait, [tex]\ln[/tex] semble être concave.. Sous-entends-tu qu'il faudrait passer à l'exponentielle dans la comparaison ?
J'ai du mal à voir comment comparer le log de la moyenne et la moyenne des log, cela a l'air assez compliqué pour ce qui est demandé, non ?
Je continuerai à regarder ça un peu plus tard.

#5 13-04-2018 15:39:49

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 21

Re : Démonstration d'une inégalité

Salut,

Une manière parmi d'autres.
Je n'aime pas donner une réponse détaillée, mais pas facile de faire autrement dans cerains cas.

(a - b)² >= 0 (comme carré)
a² + b² - 2ab >= 0
a² + b² - 2ab + 4ab >= 4ab
a² + b² + 2ab >= 4ab
(a+b)² >= 4ab
[(a+b)/2]² >= ab

et comme la fonction ln() est strictement croissante sur R*+ et que les 2 membres de l'inéquation sont > 0, on a aussi :
ln[(a+b)/2]² >= ln(ab)
2.ln[(a+b)/2] >= ln(a) + ln(b)
ln[(a+b)/2] >= (ln(a) + ln(b))/2

Hors ligne

#6 13-04-2018 17:03:48

Binks
Invité

Re : Démonstration d'une inégalité

Merci beaucoup pour ta réponse..
En plus j'ai montré de manière similaire qq chose dans une question précédente, mais je n'ai pas pensé à l'appliquer ici..
Bonne journée !

#7 16-04-2018 12:57:07

imanouuu
Invité

Re : Démonstration d'une inégalité

bonjour est ce qu'on peut m'aider a trouve un bon cours sur le calcul diferentiel en maths spe . merci

#8 16-04-2018 13:16:19

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 691

Re : Démonstration d'une inégalité

Bonjour,

Quel rapport avec le sujet en cours ?
Réponse : Aucun !

Alors pourquoi avoir cliqué sur Répondre ?

A mettre dans le Café mathématique : Nouvelle discussion
ou ici dans une discussion à part : Nouvelle discussion

Merci

       Yoshi
- Modérateur -


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