Forum de mathématiques - Bibm@th.net

uni

Membre

Inscription : 25-11-2017

Messages : 61

Calculer une transformée de Fourier

Bonjour
j'ai l'exo suivant:
soit $a>0$ on considère les fonctions $f(x)= e^{-ax} \chi_{[0,+\infty[}(x)$ et $g(x)=e^{ax} \chi_{]-\infty,0[}(x)$.
1. Calculer $Ff$ et $Fg$
2. Déduire la valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 + 4 \pi^2 x^2} dx$

Voilà ce que je trouve: $Ff(\xi)= \dfrac{1}{a+i \xi}$ et $Fg= \dfrac{1}{a-i\xi}$.
pour répondre à 2 on remarque que
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 + 4 \pi^2 x^2} dx = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} Ff(2 \pi x) Fg(2 \pi x) dx
$$
Qu'est ce qu'on utilise après pour trouver la valeur de cette intégrale?
Merci par avance pour l'aide.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 047

Re : Calculer une transformée de Fourier

La formule de Plancherel ?

aviateur

Membre

Inscription : 19-02-2017

Messages : 189

Re : Calculer une transformée de Fourier

Bonjour
Avec ta définition de la transformée de Fourier tu  as $F(2 \pi \xi)+G(2 \pi \xi)=\dfrac{2 a}{a^2+4\pi^2 \xi^2} $

Donc  tu  peux appliquer  la transformée de Fourier inverse à  $F(2 \pi \xi)+G(2 \pi \xi)$ en x=0 pour obtenir  le résultat.

Dernière modification par aviateur (06-04-2018 16:49:26)