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#1 30-03-2018 13:26:06

hicham alpha
Membre
Inscription : 20-03-2018
Messages : 111

équation dans Z

Bonjour.

voici un exercice où je me suis bloqué :

On considère l'équation :       (1)     324x - 245y = 7 ,  avec (x,y)∈Z2.   
a) montrer que, pour toute solution (x,y), x est multiple de 7. ( pas de problème ici, je l'écrit juste pour vous donner tant d'informations )
b)Déterminer une solution (x0,y0) de l'équation et en déduire l'ensemble de toutes les solutions ( pas de problème ici aussi, on trouve {(28+245k, 37-324k)/k∈Z} )
c)( là où je me suis bloqué) soit d le PGCD des termes d'un couple (x,y) solution de l'équation. quelles sont les valeurs possibles de d ?
Déterminer les solutions de (1) telles que x et y soient premiers entre eux.

merci d'avance.

Hicham.

Dernière modification par hicham alpha (30-03-2018 13:27:00)


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#2 31-03-2018 06:20:51

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : équation dans Z

Bonjour

  Le pgcd ne peut être que 1 ou 7 (si d divise x et y, l'équation te dit qu'il divise aussi 7). Tu dois alors éliminer dans tes solutions celles qui sont toutes deux divisibles par 7.

F

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#3 31-03-2018 13:55:06

hicham alpha
Membre
Inscription : 20-03-2018
Messages : 111

Re : équation dans Z

Bonjour.

merci, et comment on peut écrire ces solutions qui ont pour PGCD 1? ( une écriture de cet ensemble en fonction des données de l'exercice )

bonne journée.

Hicham


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#4 31-03-2018 15:25:55

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : équation dans Z

Salut,

x d'après l'énoncé est multiple de 7...
Et y = ?
si k=0, y=37 n'est pas multiple de 7.
Et si k =1 ?
37-324=-287=-41 * 7
Pout k>1, on pose k'=k-1
On a x = 28+273k', y=-287-324k'=-41*7-324k'
321 n'est pas multiple de 7.
Donc, pour que -41*7-324k' soit multiple de 7, il faut que k' soit, lui, multiple de 7, donc que k =1+7n avec [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]...
Tu as de quoi poursuive.

@+


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#5 31-03-2018 20:49:04

hicham alpha
Membre
Inscription : 20-03-2018
Messages : 111

Re : équation dans Z

bonjour.

merci pour votre réponse. mais je n'ai pas pu bien comprendre. pouvez vous, s'il vous plait, expliquer plus ?

merci d'avance.

Hicham


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#6 01-04-2018 08:32:26

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : équation dans Z

Bonjour,

Ta réponse prouve que tu t'es contenté de lire ce que je te proposais et tu as repoussé mon post d'une main négligente : comprends paaaas !...
Trop facile !
Qu'est-ce que tu ne comprends pas ? (Et ne  réponds pas : tout !)
37 n'est pas multiple de 7 : difficile ça ?
37-324*1 = - 287 = -41 * 7  (multiple 7)  difficile ç ?

A partir de là, si tu as une somme de 2 nombres dont l'un est multiple 7 et l'autre non, la somme n'est pas multiple de 7... Difficile ça ?

Je t'ai montré comment trouver tous les multiples de 7, donc ceux qui ne le sont pas.
37 - 324*2 = -41*7-324 multiple de 7 ou pas ?.
324 n'étant pas multiple de 7, alors -41*7 - 324 ne l'est pas non plus...
Jusqu'à 37 -324*8 il n'y a plus de multiple de 7...
En effet, 37 -324*8 est multiple de 7 : 37 - 324*8 = -41*7 - 324 * 7 = (-41-324)*7

@+


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#7 01-04-2018 10:47:26

hicham alpha
Membre
Inscription : 20-03-2018
Messages : 111

Re : équation dans Z

bonjour;
merci pour votre réponse.

Premièrement, voici ce que je n'ai pas compris :

yoshi a écrit :

On a x = 28+273k', y=-287-324k'=-41*7-324k'
321 n'est pas multiple de 7.

pourquoi vous avez utilisé 321 et pas 324 ? ( je pense que c'est un faute de frappe, non ?)

Deuxièmement, je trouve que la méthode que  vous avez utilisé est un peu compliquée et longue. pour cela, j'ai essayé de trouver une méthode simple, et maintenant je vous propose ma modeste méthode et dites moi si elle est logique ou non ?  ( merci d'avance )

on 37 ≡ 2 [7] et 324 ≡ 2 [7], pour que 37-324k soit divisible par 7, il faut que k ≡ 1 [7].
alors la réponse est, tout simplement, (28+245k, 37-324k) tel que k≠1 modulo 7.  (je pense que les deux méthode ont le même principe, mais je trouve celle-ci simple)

Bonne journée ?
en attendant votre favorable réponse.

Hicham

Dernière modification par hicham alpha (01-04-2018 11:27:35)


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#8 01-04-2018 19:25:56

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : équation dans Z

Re,

Oui, faute de frappe...

on a 37 ≡ 2 [7] et 324 ≡ 2 [7], pour que 37-324k soit divisible par 7, il faut que k ≡ 1 [7]

Vrai bien sûr mais affirmation non justifiée...
C'est vrai aussi, je suis mauvais, et je m'incline devant ton talent...
Mais bien sûr, j'ai bien dû m'y reprendre à deux fois tant ce que je racontais était compliqué : mon dernier post aura eu quand même le mérite de te forcer à réfléchir un peu, s'pas...
Bon, j'aurais pu faire bien plus court, mais aurais-tu davantage compris ce que je disais ?
Quant à la difficulté, laisse-moi rire, ce que j'ai raconté, j'aurais pu le demander à de bons élèves de 4e  en rendant la question accessible sans parler de congruences bien sûr...
Bon, chacun voit midi à sa porte.

Pour terminer je suis ravi de voir qu'il n'est plus nécessaire que je prenne du temps pour te répondre : tu as prouvé que tu te débrouillais très bien tout seul !!!
Aie davantage confiance en tes moyens à l'avenir !

@+


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#9 01-04-2018 20:20:40

hicham alpha
Membre
Inscription : 20-03-2018
Messages : 111

Re : équation dans Z

Bonjour
je n'ai pas dit que vous êtes mauvais et je ne vais jamais le dire. vous n'avez pas besoin de vous inclinez devant un élève qui vous demande d'aide et d'explication. et merci pour votre compréhension.
j'avoue, bien sûr, que votre post aura le mérite de me forcer à réfléchir un peu pour arriver à une résultat qui est considéré vraie et non justifiée, grâce à le langage que vous avez utilisé. Merci bien.
Et le fait de comparer mon  niveau ( en arithmétique ) à les élèves de 4e est super bien, il me pousse de travailler dur pour arriver à ce que je veux. alors merci une autre fois.
well, L'homme méprit dans autrui ses propres misères. (Citation de Pierre-Simon Ballanche ; Fragments (1808))
toi aussi, aie confiance en vos capacités pour pousser les gens à travailler.
continuez d'apprendre et d'aider les autres.
merci pour votre attention et vos intervention.
ENJOY, HAVE A GREAT DAY
Hicham


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#10 01-04-2018 20:32:12

hicham alpha
Membre
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Messages : 111

Re : équation dans Z

Pour la justification

on a 37 ≡ 2 [7] et 324 ≡ 2 [7] alors 324k ≡ 2k [7]. par conséquent 37-324k≡ 2-2k [7].
si k≡ 1 [7] , alors 37-324k≡ 2-2*1 [7] et alors 37-324k sera divisible par 7.

pour que 37-324k ne sera divisible par 7, il faut que k≠1 modulo 7.

je vous demande vraiment de me dire s'il y a une faute dans les étapes que j'ai utilisé( ne le considérer pas comme moquerie, je le jure, je veux bien améliorer mon niveau)

et merci beaucoup et pardon.

bonne journée

Dernière modification par hicham alpha (01-04-2018 20:35:04)


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#11 03-04-2018 11:02:37

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 16 947

Re : équation dans Z

Bonjour,

yoshi a écrit :

je suis mauvais,

C'était du 2nd degré...

hicham alpha a écrit :

toi aussi, aie confiance en vos capacités pour pousser les gens à travailler.
continuez d'apprendre et d'aider les autres.

C'est gentil, mais mon avenir est devant moi... quand je me retourne !
Mais, oui, même à mon âge, j'apprends encore... mais plus en matière de pédagogie : ma carrière est terminée.

hicham alpha a écrit :

Et le fait de comparer mon  niveau ( en arithmétique ) à les élèves de 4e est super bien, il me pousse de travailler dur pour arriver à ce que je veux.

J'ai dit que l'énoncé, une fois aménagé, était proposable à de bons élèves de 4e : tu as dit que ce que je t'avais proposé était long (normal : j'explicite toujours - ou presque - largement ma pensée) et compliqué (là je t'ai montré et vais te montrer mon désaccord).
Voilà ce qu'on peut demander, ce que j'aurais pu demander (rapidement, parce que si c'était un DM que je m'apprêtais à donner, j'y réfléchirais une bonne heure pour avoir autre chose qu'une trame assez générale) à des 4e.
Quand on commence à entrevoir l'Algèbre et la notion de distributivité en 5e, on peut leur montrer :
- qu'un nombre pair quelconque qui est un multiple de 2, peut s'écrire $2 \times n$ (en 4e, la notation 2n ne dérange - normalement - plus) où n peut être remplacé par le nombre entier de leur choix
- qu'un deuxième nombre pair quelconque peut s'écrire $2 \times m$ où n peut être remplacé par le nombre entier de leur choix...
- qu'en écrivant la somme 2n+2m et en factorisant on arrive à $2(n+m)$ qui est l'écriture  d'un multiple de 2.
On leur montre ainsi que ne connaissant ni m, ni n ce qu'on a montré est toujours vrai.
Ensuite, on demande comment s'écrit un nombre impair quelconque.
Puis deux nombres impairs quelconques. Et on leur demande de prouver, par le même procédé, que la somme de deux nombres impairs quelconques est toujours un nombre pair...
On peut prolonger en 4e  en demandant de prouver que la somme de 2 nombres impairs consécutifs est toujours un multiple de 4.
Puis on passe aux équations genre : la somme de 3 nombres impairs consécutifs est 93 quels sont ces 3 nombres ?
Et enfin on arrive à l'exercice modifié suivant :
1. Vérifier que 245n est toujours un multiple de 7
2. Pourquoi 28+245n est-il toujours un multiple de 7 ?
3. 37 est-il un multiple de 7 ? 324 est-il un multiple de 7 ?
4. 324-37  est-il un multiple de 7 ? Et $324\times 2 - 37$ ?
5. On se propose de trouver à quelle condition $324n - 37$ est un multiple de 7
   a) Remplacer n par les valeurs 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 et calculer la différence $324n-37$. Que voyez-vous ?
   b) On remplace n par 7k+1 (k est un nombre entier naturel quelconque). Simplifier l'expression de la différence 324(7k+1)-37 et montrer qu'elle est toujours multiple de 7.

Concernant la justification de ton exercice:
37 ≡ 2 [7]   et  324 ≡ 2 [7] alors 324k ≡ 2k [7], par conséquent 37-324k ≡ 2-2k [7] ok.
Donc  [tex]37-324k ≡ 0\; [7]\;\Leftrightarrow\;  2-2k ≡ 0\; [7]\;\Leftrightarrow\; k ≡ 1 \;[7][/tex]
Pour que 37-324k ne soit pas divisible par 7, il faut donc que k≠1 modulo 7..

Et il ne faut pas oublier la question :

Déterminer les solutions de (1) telles que x et y soient premiers entre eux

[tex](x\,,\,y)=\,?[/tex]
Là, je dois dire que j'attends ta réponse avec curiosité et intérêt

@+


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#12 03-04-2018 18:59:43

hicham alpha
Membre
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Messages : 111

Re : équation dans Z

Bonjour;

c'était gentil de ta part de répondre, c'était un malentendu.
pour être honnête, je n'ai pas aimé ce qu'on a dit. ( laissons les paroles, qui sont différents de l'apprentissage, à part. okay ? )

BON, pour la solution, je dirais : (x,y) =  {(28+245k, 37-324k) /k≠1 modulo 7}.
est-ce vrai ?

j'attends ta réponse, avec curiosité d'apprentissage.

bonne journée,

Hicham


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