DM vecteurs

leo0 · 28-03-2018 12:31:18

Bonjour

Alors, voilà, j'ai de grosses difficultés de compréhension pour la construction d'un vecteur
j'ai commencé un raisonnement pour la 1 )

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 . Placer les points D, E et F définis par :

$\overrightarrow{AE}$ = - 2 $\overrightarrow{AC}$ + 3 $\overrightarrow{AB}$ + 5 $\overrightarrow{BC}$ + $\overrightarrow{CB}$ + 2 $\overrightarrow{CA}$

$\overrightarrow{BF}$ = $\overrightarrow{BA}$ + $\overrightarrow{AC}$ + $\overrightarrow{CB}$ + 3 $\overrightarrow{BC}$ - 2 $\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AD}$ = 2 $\overrightarrow{BC}$ + $\overrightarrow{CA}$ - 3 $\overrightarrow{BA}$ + 8/3 $\overrightarrow{CA}$ + 9 /4 $\overrightarrow{AB}$

2. Exprimer les deux premières expressions en fonction de AB et AC

3 . Montrer que EBC F est un parallélogramme

à quoi correspond le vecteur - 2 $\overrightarrow{AC}$ dans la première égalité $\overrightarrow{AE}$ = - 2 $\overrightarrow{AC}$

je me suis basé sur la définition que nous avons vu en cours sur l'opposé d'un vecteur
ce que le professeur nous a donné en définition 5 est la suivante :
Soit vecteur $\overrightarrow{u}$ un vecteur du plan et un vecteur $\overrightarrow{AB}$ un représentant du vecteur $\overrightarrow{u}$
On définit l'opposé du vecteur $\overrightarrow{u}$, le vecteur que l'on va noté - vecteur $\overrightarrow{u}$ dont un représentant est le vecteur $\overrightarrow{BA}$

cette définition , je l'ai compris comme ça
j'ai le vecteur u donc je trace un vecteur : c'est le vecteur $\overrightarrow{u}$
puis
je construis un représentant de ce vecteur dont l'origine est A
donc je sais construire ça
je prends mon compas
- Je prends la longueur du vecteur $\overrightarrow{u}$
- je pique en A et je fais un premier arc de cercle
- je prends la longueur : partant du point A jusque l'origine du vecteur
et là j'ai mon point B
j'ai le vecteur $\overrightarrow{AB}$ qui est un représentant du vecteur $\overrightarrow{u}$

je regarde ce que me dit la définition : on me parle d'un vecteur u puis d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$ ( il est dessiné : donc ça c'est oK )
et on définit l'opposé d'un vecteur u est le vecteur que l'on va noter - vecteur $\overrightarrow{u}$ dont un représentant est le vecteur $\overrightarrow{BA}$ que je trace avec une couleur différente

c'est à dire que le vecteur $\overrightarrow{BA}$ va du point B vers A
du coup je suis obligé de mettre la flèche dans l'autre sens

et ce vecteur ça va être - vecteur $\overrightarrow{u}$

c'est à dire que le vecteur $\overrightarrow{BA}$ est égal à - vecteur $\overrightarrow{u}$
Or, le vecteur u est un représentant du vecteur $\overrightarrow{AB}$
je vais tout simplement remplacé u par $\overrightarrow{AB}$
le vecteur u étant remplacé par $\overrightarrow{AB}$ , j'ai bien $\overrightarrow{BA}$ = - $\overrightarrow{AB}$

si j'ai - $\overrightarrow{AC}$ c'est bien le vecteur $\overrightarrow{AC}$ qui est le représentant AB de la définition ?

180328121727151897.png.html

yoshi · 28-03-2018 20:03:33

Bonjour,

à quoi correspond le vecteur - 2 $\overrightarrow{AC}$ dans la première égalité $\overrightarrow{AE}$ = - 2 $\overrightarrow{AC}$

Tu ne peux pas écrire ça ! Le vecteur $\overrightarrow{AE}$ c'est toute la somme...
Ecris plutôt : à quoi correspond le vecteur - 2 $\overrightarrow{AC}$ dans la première égalité $\overrightarrow{AE} =\cdots ?$
Disons que l'on choisit I tel que $\overrightarrow{AI} = - 2 \overrightarrow{AC}$
Où est donc I ?
On trace la demi-droite [CA).
Sur cette demi-droite, je place le point I tel que [tex] I \not \in [CA][/tex] et tel que AI = 2CA.
Comment ? Pointe de compas sur A, rayon, AC, je reporte un premier point sur la demi-droite, qui me sert de centre pour trouver I en traçant le cercle de même rayon.
-2\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CA}

Pour construire construire un représentant d'un vecteur [tex]\vec u[/tex]
* Tracer un vecteur [tex]\vec u[/tex] quelconque
* Placer un point A n'importe où dans le plan (de préférence pas sur le vecteur)
* Je construis la parallèle au [tex]\vec u[/tex] passant par A.
* Mon logiciel de dessin ne me permet pas (ou c'est compliqué) de reporter une longueur égale à [tex]||\vec u||[/tex], alors je construis un parallélogramme : je trace la droite $(\Delta)$ passant A et l'origine de [tex]\vec u[/tex], puis la parallèle à cette droite $(\Delta)$ passant par l'extrémité de [tex]\vec u[/tex] : cette droite coupe $(\Delta)$ en B.

J'ai donc [tex]\overrightarrow{AB}=\vec u[/tex], $\overrightarrow{AB}$ est un représentant de $\vec u$.

Et [tex]\overrightarrow{BA}[/tex] alors ? Par définition on a [tex]\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}[/tex] et comme [tex]\overrightarrow{AB}=\vec u[/tex], alors [tex]\overrightarrow{BA}=-\vec u[/tex].
Et donc $\overrightarrow{BA}$ est un représentant du vecteur $-\vec u$

Voilà ma construction du point E, le faire classiquement conduisait à passer sur [BC] sans savoir que c'était bien le cas et non une coïncidence.
J'ai un peu regroupé l'expression
$\overrightarrow{AE} = - 2 \overrightarrow{AC} + 3 \overrightarrow{AB} + 5 \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB} + 2 \overrightarrow{CA}$
sinon, il y aurait eu beaucoup de traits...
Là, il y en a déjà pas mal...

J'ai donc construit :
$\overrightarrow{AE} = (- 2 \overrightarrow{AC} + 2 \overrightarrow{CA}) + 3 \overrightarrow{AB} +(5 \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB})$
Alors [tex]-2 \overrightarrow{AC}=2 \overrightarrow{AC}[/tex]
Pour ça, t'ai tracé la demi-droite [CA), puis
* placé le point I tel que [tex]\overrightarrow{AI}=2 \overrightarrow{AC}[/tex]
* placé le point J tel que [tex]\overrightarrow{IJ}=2 \overrightarrow{AC}[/tex]

J'ai donc à ce moment à construire :
$\overrightarrow{AE} =(\overrightarrow{AI} \overrightarrow{IJ}) + 3 \overrightarrow{AB} +(5 \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB})$
c'est à dire :
$\overrightarrow{AE} =\overrightarrow{AJ} + 3 \overrightarrow{AB} +(5 \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB})$

Maintenant, je trace la demi-droite [AB) et je place le point K' tel que [tex]\overrightarrow{AK'}= 3\overrightarrow{AB}[/tex].
Je trace la // à (AB) passant par J et la parallèle à (AJ) passant par K' : elles se coupent en K :
j'ai donc [tex]\overrightarrow{JK}= \overrightarrow{AK'}= 3\overrightarrow{AB}[/tex]
Le vecteur somme $\overrightarrow{AE}$ s'écrit maintenant :
$\overrightarrow{AE} =\overrightarrow{AJ} + \overrightarrow{JK} +(5 \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB})$
ou encore :
$\overrightarrow{AE} =\overrightarrow{AK}+(5 \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB})$

Maintenant je vais m'occuper de :
$5\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB}$
Je trace la demi-droite [BC) sur laquelle je place L' tel que [tex]\overrightarrow{BL'}=5\overrightarrow{BC}[/tex]
Puis M' tel que [tex]\overrightarrow{L'M'}=\overrightarrow{CB}[/tex]

J'ai donc $5\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB}$ par $\overrightarrow{BL} + \overrightarrow{LM}$ qui est égal à $\overrightarrow{BM'}$

Et je reviens à $\overrightarrow{AE} =\overrightarrow{AK}+(5 \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB})$
que je peux écrire maintenant
$\overrightarrow{AE} =\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{BM'}$
Toujours en construisant un parallélogramme, je vais placer M sur la parallèle à (Bc) passant par A et tel que $\overrightarrow{AM} =\overrightarrow{BM'}

Je vais donc tracer la somme des vecteurs $\overrightarrow{AK}$ et $\overrightarrow{AM}$.
Je trace la parallèle à (AK) passant par M et la parallèle à (AM) passant par K : elles se coupent en E.

J'ai construit E tel que
$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KE}$.
C'est à dire :
$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AM}$
ou encore :
$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{BM'}$
ou encore
$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AK}+(5\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})$
ou encore :
$\overrightarrow{AE}=(\overrightarrow{AJ}+3\overrightarrow{AB})+(5\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})$
ou encore
$\overrightarrow{AE}=(\overrightarrow{AI}+(\overrightarrow{IJ})+3\overrightarrow{AB}+(5\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})$
ou encore
$\overrightarrow{AE}=(-2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CA})+3\overrightarrow{AB}+(5\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})$
C'est bien ce qu'on me demandait.

2. Et on croit constater que $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$
Est-ce que c'est vrai ?
Voyons :
$\overrightarrow{AE} = (- 2 \overrightarrow{AC} + 2 \overrightarrow{CA}) + 3 \overrightarrow{AB} +(5 \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB})$
donc
$\overrightarrow{AE} =4\overrightarrow{CA} + 3 \overrightarrow{AB} +(5 \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BC})$
donc
$\overrightarrow{AE} =4\overrightarrow{CA} + 3 \overrightarrow{AB} + 4 \overrightarrow{BC}$
Je regroupe le 1er et le dernier terme et je factorise :
$\overrightarrow{AE} =4(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC}) + 3 \overrightarrow{AB}$
ou pour que tu voies mieux :
$\overrightarrow{AE} =4(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}) + 3 \overrightarrow{AB}$
qui se simplifie ainsi :
$\overrightarrow{AE} =4\overrightarrow{BA} + 3\overrightarrow{AB}$
ou encore :
$\overrightarrow{AE} =4\overrightarrow{BA} - 3\overrightarrow{BA}$
Et on a enfin :
$\overrightarrow{AE} =\overrightarrow{BA}$

$\overrightarrow{BF}$ c'est très simple.
Tu peux le faire seule...
$\overrightarrow{BF}$ =$(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})$+$3\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AC}$
Que vaut la parenthèse ?
Après tu développes [tex]3(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})[/tex] (c'est $3\overrightarrow{BC}$) et tu réduis avec [tex]-2\overrightarrow{AC}[/tex]...

Je vais me permettre un petit commentaire : cet exo, c'est de la folie furieuse. Surtout le point D.
Il est fait pour des gens expérimentés.
Je serais fort surpris que tu me dises non, mon prof n'est pas un jeune si je te posais la question...
3. Le plus simple pour le parallélogramme est de prouver que [tex]\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CF}[/tex].
Je t'ai montré que $\overrightarrow{AE} =\overrightarrow{BA}$
Tu sais que : $\overrightarrow{BE} =\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}$
Donc
$\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{BA}$

Quant à $\overrightarrow{CF}$ il est égal à $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}$

Courage !
Ne te laisse pas dégoûter par l'exercice, il est particulièrement ch...
Tu finiras par comprendre les vecteurs et voir que ce n'est pas si difficile que cela : question d'habitude et d'entraînement...

@+

leo0 · 29-03-2018 19:06:51

Bonsoir Yoshi

Tout d'abord merci beaucoup pour hier, c'est bien gentil de m'aider
Là, j'ai commencé à lire le début de ce que vous m'avez envoyé

leo0 · 29-03-2018 19:08:06

Pour la construction d'un représentant d'un vecteur $\overrightarrow{u}$

- j'ai Tracé un vecteur $\overrightarrow{u}$
- j'ai Placé un point A n'importe où dans le plan
- j'ai tracé une droite passant par le point A et par l'origine du vecteur $\overrightarrow{u}$
maintenant pour tracer la parallèle à la droite $\delta$
- j'ai placé mon équerre sur la droite donc qui passe par A et par l'origine du vecteur $\overrightarrow{u}$

yoshi · 29-03-2018 20:45:22

Salut leo0,

Ce n'est pas comme ça que tu obtiendras une parallèle au $\vec u$...

1. Tu places l'équerre le long du vecteur $\vec u$
2. Tu plaques la règle contre l'équerre
3. Tu fais coulisser l'équerre le long de le règle
4. Quand tu arrives au point A, tu traces ta droite (D) qui sera parallèle au vecteur $\vec u$

Si tu ne questionnes pas, c'est difficile de t'aider.

@+

leo0 · 01-04-2018 14:58:53

Bonjour Yoshi,

d'après la définition 5 sur l'opposé d'un vecteur :

Soit vecteur [tex]\vec u[/tex] un vecteur du plan, et le vecteur AC un représentant du vecteur [tex]\vec u[/tex]
On définit l'opposé du vecteur [tex]\vec u[/tex] est le vecteur noté - vecteur [tex]\vec u[/tex] dont un représentant est le vecteur $\overrightarrow{CA}$

je trace un vecteur [tex]\vec u[/tex] et je construis un représentant de ce vecteur [tex]\vec u[/tex] à partir d'un point A qui est n'importe où dans le plan
Pour construire un représentant de ce vecteur [tex]\vec u[/tex], je construis un parallélogramme : je trace la droite $\Delta$ passant par le point A et par l'origine du vecteur [tex]\vec u[/tex] puis la parallèle à cette droite $\Delta$ passant par l'extrémité du vecteur [tex]\vec u[/tex]

j'ai le vecteur $\overrightarrow{AC}$ qui est un représentant de ce vecteur [tex]\vec u[/tex]

le vecteur $\overrightarrow{CA}$ est dans l'autre sens ( je l'ai fait en marron clair )
c'est à dire que $\overrightarrow{CA}$= - [tex]\vec u[/tex]
et comme [tex]\vec u[/tex] = $\overrightarrow{AC}$ j'ai $\overrightarrow{CA}$ = - $\overrightarrow{AC}$

donc là, j'ai une idée de ce que va être - 2 $\overrightarrow{CA}$, j'ai réussi à trouver à quoi correspond le - $\overrightarrow{AC}$

parce que dans l'énoncé je dois trouver $\overrightarrow{AE}$ = - 2 $\overrightarrow{AC}$ + 3 $\overrightarrow{AB}$ + 5 $\overrightarrow{BC}$ + $\overrightarrow{CB}$ + 2 $\overrightarrow{CA}$

ensuite

je veux - 2 AC
comme la définition me dit de prendre un vecteur [tex]\vec u[/tex] et un représentant de ce vecteur [tex]\vec u[/tex]alors j'ai fait pareil avec un autre vecteur 2 [tex]\vec u[/tex]

j'ai tracé un vecteur 2 [tex]\vec u[/tex] et j'ai pris un représentant de 2 [tex]\vec u[/tex] à partir du point A'
Pour construire un représentant du vecteur 2 [tex]\vec u[/tex], je construis un parallélogramme : j'ai tracé une droite $(\Delta ')$ passant
par l'origine du vecteur 2 [tex]\vec u[/tex] et par le point A' , puis une parallèle à cette droite $(\Delta')$ passant par l'extrémité du vecteur 2 [tex]\vec u[/tex]

j'ai le vecteur $\overrightarrow{A'C}$ qui est un représentant de 2 [tex]\vec u[/tex]

l'opposé est $\overrightarrow{CA'}$ ( il part de C et l'extrémité est A' ) et je l'ai fait en rouge
et $\overrightarrow{CA'}$ est égal à - 2 [tex]\vec u[/tex]
comme $\overrightarrow{A'C}$ = 2 [tex]\vec u[/tex] j'ai $\overrightarrow{CA'}$ = - $\overrightarrow{A'C}$
donc j'ai - 2 AC = CA'
maintenant il faut que je le déplace le vecteur $\overrightarrow{CA'}$ pour qu'il soit d'origine A et je ne vois pas comment construire un parallèlogramme

yoshi · 01-04-2018 20:48:13

Salut,

Ne te focalise pas sur le vecteur [tex]\overrightarrow{CA'}[/tex].
Regarde plutôt la droite (CA').
Si tu appelles M l'origine du vecteur [tex]2\vec u[/tex] et N son extrémité :
- tu traces la droite (NA)
- puis la parallèle passant par M à la droite (NA)
- cette parallèle coupe (CA') : appelons R ce point d'intersection.
Tu as (AR)//(MN) et (MR)//(NA) : le quadrilatère MNAR est un parallélogramme et [tex]\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{NM}=-2\vec u[/tex]

Autre méthode (tu n'as plus besoin de la droite (CA') ):
- Tu traces le segment [MA]
- Tu prends son milieu P
- Tu traces la demi-droite [NP)
- De P tu portes sur [NP) une longueur PR telle que PR = NP : P est donc aussi le milieu de [NR].
Les diagonales [MA] et [NR] du quadrilatère MNAR ont le même milieu : c'est un parallélogramme.

@+

leo0 · 02-04-2018 17:07:29

Salut,

je passe à la question 2 ( construction de vecteur $\overrightarrow{BF}$

$\overrightarrow{BF}$ = $\overrightarrow{BA}$ + $\overrightarrow{AC}$ + $\overrightarrow{CB}$ + 3 $\overrightarrow{BC}$ - 2 $\overrightarrow{AC}$

d'après la définition 5
Soit vecteur [tex]\vec u[/tex] un vecteur du plan et le vecteur $\overrightarrow{AB}$ un représentant de ce vecteur
On définit l'opposé du vecteur [tex]\vec u[/tex] est le vecteur, noté - vecteur [tex]\vec u[/tex] dont un représentant est le vecteur $\overrightarrow{AB}$
je vais schématiser ça avec un dessin

ici, j'ai tracé un vecteur [tex]\vec u[/tex] quelconque
et j'ai représenté un représentant de ce vecteur [tex]\vec u[/tex] à partir d'un point A
donc, j'ai placé un point A n'importe où dans le plan
Pour construire un représentant d'un vecteur : je construis un parallèlogramme
je trace la droite $(\Delta)$ passant par le point A et passant par l'origine du vecteur [tex]\vec u[/tex] puis la parallèle à cette droite $(\Delta)$
passant par l'extrémité du vecteur [tex]\vec u[/tex]

AB est un représentant du vecteur [tex]\vec u[/tex]

pour le vecteur $\overrightarrow{BA}$ :

je relis la définition : on définit le vecteur opposé du vecteur [tex]\vec u[/tex] est le vecteur noté - vecteur [tex]\vec u[/tex] dont un représentant est le vecteur $\overrightarrow{BA}$
que je trace avec une autre couleur ( voir le schéma )
c'est à dire que le vecteur $\overrightarrow{BA}$ : je dois mettre la flèche dans l'autre sens (de B vers A )
je suis obligé de mettre la flèche dans l'autre sens
ça va être le vecteur - [tex]\vec u[/tex]

c'est à dire que le vecteur $\overrightarrow{BA}$ = - [tex]\vec u[/tex]
Or le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est égal au vecteur [tex]\vec u[/tex]
le vecteur [tex]\vec u[/tex] étant remplacé par $\overrightarrow{AB}$ , j'ai $\overrightarrow{BA}$ = - $\overrightarrow{AB}$

j'ai construis l'opposé du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ( dans l'énoncé on me demande de tracer $\overrightarrow{BF}$ = $\overrightarrow{BA}$ + $\overrightarrow{AC}$ + $\overrightarrow{CB}$ + 3 $\overrightarrow{BC}$ - 2 $\overrightarrow{AC}$

ensuite je trace le vecteur $\overrightarrow{AC}$ ( il est dessiné )

puis je trace le vecteur $\overrightarrow{CB}$

donc toujours d'après la définition
Soit un vecteur [tex]\vec v[/tex] un vecteur du plan et le vecteur $\overrightarrow{BC}$ un représentant de ce vecteur
On définit l'opposé du vecteur [tex]\vec v[/tex] est le vecteur, noté - vecteur [tex]\vec v[/tex] dont un représentant est le vecteur $\overrightarrow{CB}$
j'ai pris un autre vecteur [tex]\vec v[/tex]
ici j'ai tracé le vecteur [tex]\vec v[/tex]
et pour construire un représentant d'un vecteur [tex]\vec v[/tex] : je dois construire un parallélogramme
je trace la droite $(\Delta')$ passant par le point B et par l'origine du vecteur [tex]\vec v[/tex] puis la parallèle à cette droite $(\Delta)$
passant par l'extrémité du vecteur [tex]\vec v[/tex]
j'ai le vecteur $\overrightarrow{BC}$ qui est un représentant du vecteur [tex]\vec v[/tex]

pour l'opposé du vecteur $\overrightarrow{BC}$ : c'est à dire le vecteur $\overrightarrow{CB}$ puisque on me demande de tracer $\overrightarrow{CB}$

d'après la définition, on définit l'opposé du vecteur [tex]\vec v[/tex] est le vecteur, noté - vecteur [tex]\vec v[/tex] dont un représentant est le vecteur $\overrightarrow{CB}$
que j'ai fais en marron clair ( sur le schéma )
c'est à dire que le vecteur $\overrightarrow{CB}$ : je suis obligé de mettre la flèche dans l'autre sens
et ça c'est le vecteur - [tex]\vec v[/tex]
c'est à dire que $\overrightarrow{CB}$ = - [tex]\vec v[/tex]
or le vecteur $\overrightarrow{BC}$ est égal au vecteur [tex]\vec v[/tex]
le vecteur [tex]\vec v[/tex] étant remplacé , j'ai $\overrightarrow{CB}$ = - $\overrightarrow{BC}$

leo0 · 02-04-2018 17:09:09

j'ai construit l'opposé du vecteur $\overrightarrow{BC}$ et j'ai tracé le vecteur - $\overrightarrow{BC}$

Le vecteur somme $\overrightarrow{BF}$ s'écrit $\overrightarrow{BF}$ = - $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AC}$ - $\overrightarrow{BC}$

donc là $\overrightarrow{AC}$ - $\overrightarrow{BC}$ je reconnais une autre construction ( c'est la somme de la différence de deux vecteurs

yoshi · 02-04-2018 20:03:47

Bonsoir,

Normalement,
si tu commences par tracer : $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}$
Tu vois que tu vas de B à A, puis de A à C et enfin de C à B : tu es donc partie de B pour revenir à B.
Conclusion : déplacement nul, $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}=\vec 0$
Et en fait :
$\overrightarrow{BF} = (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}) + 3\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AC}=\vec 0+3 \overrightarrow{BC} - 2 \overrightarrow{AC}=3 \overrightarrow{BC} - 2 \overrightarrow{AC}$
Il te reste donc à construire F tel que :
$\overrightarrow{BF}=3 \overrightarrow{BC} - 2 \overrightarrow{AC}=3 \overrightarrow{BC} + 2 \overrightarrow{CA}$
C'est quand même plus simple, non ?

je reconnais une autre construction ( c'est la somme de la différence de deux vecteurs)

Soit tu dis : c'est la différence de deux vecteurs,
soit, si tu écris [tex]\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}[/tex] de cette façon : [tex]\overrightarrow{AC}+(-\overrightarrow{BC})[/tex],
tu dis : c'est la somme d'un vecteur et de l'opposé d'un autre,
ou encore si tu écris que [tex]\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}[/tex], tu dis que c'est une somme de deux vecteurs...

@+

leo0 · 02-04-2018 21:08:19

Bonsoir

J'ai joint l'image de la feuille d'exercice et voilà, comment je raisonne quand je vois ces 3 points

je lis :
1 ) le vecteur $\overrightarrow{AB}$ qui va de A vers B
2 ) le vecteur $\overrightarrow{AC}$ qui va de A vers C
Pour quelle raison ? en fait je sais pas trop .........

et ensuite
3 ) le vecteur $\overrightarrow{BC}$ qui va de B vers C

et maintenant, quand j'ai à trouver $\overrightarrow{BF}$ = $\overrightarrow{BA}$ + $\overrightarrow{AC}$ + $\overrightarrow{CB}$ + 3 $\overrightarrow{BC}$ - 2 $\overrightarrow{AC}$

je lis $\overrightarrow{BF}$ = $\overrightarrow{BA}$ + ....
je reconnais le vecteur $\overrightarrow{BA}$ de la définition sur l'opposé d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$
et alors je reprends la définition , je trace un vecteur [tex]\vec u[/tex]
puis je place un point A et je trace la parallèle au vecteur [tex]\vec u[/tex] passant par A
pour définir le vecteur $\overrightarrow{BA}$ en disant que le vecteur $\overrightarrow{BA}$ = - [tex]\vec u[/tex]
et en remplaçant [tex]\vec u [/tex] par le vecteur $\overrightarrow{AB}$ j'ai $\overrightarrow{BA}$ = - $\overrightarrow{AB}$
donc je cherche à tracer - $\overrightarrow{AB}$

yoshi · 03-04-2018 10:33:13

Bonjour,

Si tu ne poses pas de question claire, comment veux-tu qu'on t'aide ?

Avec un quadrillage, c'est bien plus facile de tracer des parallèles ou des perpendiculaires...
Tu cherches à tracer [tex]-\overrightarrow{AB}[/tex] dis-tu ? Bin, tu traces le vecteur qui va de B à A...
Je t'ai montré, et tu n'as pas fait de commentaire là-dessus (m'as-tu lu et compris ?), que [tex]\overrightarrow{BF}=3\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CA}[/tex]
J'ai repris ton dessin, et j'ai tracé
1. [tex]\overrightarrow{BB'}=3\overrightarrow{BC}[/tex]
2. Puis depuis B', j'ai tracé [tex]\overrightarrow{B'F}=2\overrightarrow{CA}[/tex].
Pour ce faire:
a) J'ai tracé le vecteur [tex]\overrightarrow{CC'}=2\overrightarrow{CA}[/tex]
b) Puis j'ai décomposé le déplacement C --> C' en 2 déplacements horizontal et vertical :
Horizontal : 6 vers la gauche, et Vertical 4 vers le haut.
c) Depuis le point B' pour trouver le point F, je me déplace H de 6 carreaux vers la G, puis je monte de 4 carreaux.
Et là, j'ai donc (B'F)//(CC'), B'F = CC' et de plus [tex]\overrightarrow{B'F}[/tex] et [tex]\overrightarrow{CC'}[/tex] sont de même sens.
J'ai donc bien [tex]\overrightarrow{B'F}=\overrightarrow{CC'}=2\overrightarrow{CA}[/tex].
De plus, j'ai construit F tel que [tex]\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{B'F}=3\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CA}[/tex].

Maintenant, pour que tu saches que ma construction donne toujours (B'F)//(CC') et B'F = CC', je justifie ce que j'ai fait.
J'ai construit deux triangles CHC' rectangle en H et B'KF rectangle en K, tels que B'K = CH et KF = HC'.
Le théorème de Pythagore te montre alors que B'F² = CC'² donc que B'F = CC'
La trigonométrie te montre que dans ces triangles
[tex]\tan \hat C = \tan \widehat {B'}[/tex]. Or le coefficient directeur d'une droite c'est la valeur de la tangente de l'angle que fait la droite avec l'horizontale (ou l'axe des abscisses).
Donc si je trace un repère orthonormé n'importe où sur le dessin, je vais pouvoir dire que ces deux droites ont le même coefficient directeur, donc qu'elles sont parallèles.
Voilà pourquoi, pour placer F tel que (B'F)//(CC'), B'F = CC' j'ai suivi le chemin B' --> K --> F reproduisant le chemin V--> H --> C'
Au passage, si je joins C' et F, j'ai un quadrilatère CC'FB' qui est un... parallélogramme !

@+

leo0 · 03-04-2018 14:06:26

Bonjour``

j'ai lu tout ce que vous avez écrit, aussi j'ai tracé le vecteur $\overrightarrow{BF}$ ( sans le quadrillage )
et je propose ça :

$\overrightarrow{BF}$ = $\overrightarrow{0}$ + 3 $\overrightarrow{BC}$ - 2 $\overrightarrow{CA}$

Je construis $\overrightarrow{BF}$ =3 $\overrightarrow{BC}$ - 2 $\overrightarrow{CA}$

je trace la demi-droite [BC) et je place le point D tel que $\overrightarrow{BD}$ = 3 $\overrightarrow{BC}$
il faut déjà voir à quoi correspond 3 $\overrightarrow{BC}$
je multiplie la norme de $\overrightarrow{BC}$ par 3 pour comprendre qu'est ce que ça va être que 3 $\overrightarrow{BC}$
pour la construction de 3 $\overrightarrow{BC}$
je place le point que j'appelle D tel que $\overrightarrow{BD}$ = 3 $\overrightarrow{BC}$
Pour cela, je prends la norme de $\overrightarrow{BC}$, en plaçant la pointe de mon compas sur le point C, je prends le rayon BC et je reporte un premier point
qui me sert pour placer un deuxième point afin de trouver le point D
ainsi 3 $\overrightarrow{BC}$ = $\overrightarrow{BD}$
j'ai remplacé $\overrightarrow{BD}$ par 3 $\overrightarrow{BC}$

je reprends $\overrightarrow{BF}$ = $\overrightarrow{0}$+ 3 $\overrightarrow{BC}$ - 2 $\overrightarrow{AC}$ que je peux écrire maintenant $\overrightarrow{BF}$ = $\overrightarrow{BD}$ - 2 $\overrightarrow{AC}$

avec - 2 $\overrightarrow{AC}$ = 2 $\overrightarrow{CA}$

je choisis un point A ' tel que $\overrightarrow{CA'}$ = - 2 $\overrightarrow{AC}$
- je trace la demi-droite [CA)
et sur cette demi-droite, je place A ' [tex]\not \in [CA][/tex] et tel que $\overrightarrow{CA'}$ = 2 $\overrightarrow{CA}$ puisque - $\overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{CA}$ ( je l'ai démontré plusieurs fois )
pour faire ça : et bien je prends mon compas, je place la pointe du compas sur le point A et je reporte un point A'
j'ai donc construit $\overrightarrow{CA'}$ tel que $\overrightarrow{CA'}$ = - 2 $\overrightarrow{CA}$

et le vecteur somme $\overrightarrow{BF}$ = $\overrightarrow{BD}$ - 2 $\overrightarrow{AC}$
je l'écrit maintenant : $\overrightarrow{BF}$ = $\overrightarrow{BD}$ + $\overrightarrow{CA'}$

il faut que je déplace le vecteur $\overrightarrow{CA'}$pour faire la somme du vecteur $\overrightarrow{BD}$ et du vecteur $\overrightarrow{CA'}$
donc je dois construire un représentant de $\overrightarrow{CA'}$ d'origine D

Pour cela, je trace la droite parallèle à CA' passant par le point D, puis la parallèle à CD passant par le point A', et ces deux droites se coupent en un point que je vais appeler F

j'ai $\overrightarrow{CA'}$ = - 2 $\overrightarrow{CA}$ = $\overrightarrow{DF}$

donc le vecteur somme $\overrightarrow{BF}$ = $\overrightarrow{BD}$ + $\overrightarrow{CA'}$
devient : $\overrightarrow{BF}$ = $\overrightarrow{BD}$ + $\overrightarrow{DF}$

j'ai construit E tel que $\overrightarrow{BF}$ = $\overrightarrow{BD}$ + $\overrightarrow{DF}$
ou encore :
$\overrightarrow{BF}$ = $\overrightarrow{BD}$ + $\overrightarrow{CA'}$
ou encore :
$\overrightarrow{BF}$ = $\overrightarrow{BD}$ - 2 $\overrightarrow{AC}$
ou encore :
$\overrightarrow{BF}$ = $\overrightarrow{0}$ + 3 $\overrightarrow{AB}$ - 2 $\overrightarrow{AC}$ et avec $\overrightarrow{0}$ = $\overrightarrow{BA}$ + $\overrightarrow{CB}$

yoshi · 03-04-2018 18:24:11

Bonsoir,

Et bien, si tu as réussi à tracer $\overrightarrow{BF}$, c'est parfait...
Maintenant, plus la peine de parler de compas, tu le fais et tu dis simplement, par exemple :
sur la demi-droite [BC), je place le pont B' tel que BB'=3BC.
Ainsi tu auras construit B' tel que : [tex]\overrightarrow{BB'}=3\overrightarrow{BC}[/tex].

(N-B : J'avais précisé, il y a déjà quelques postes en arrière [tex]B' \not \in [BC][/tex], mais c'était pour être sûr que ce soir clair, mais c'est
totalement inutile : si on précise que l'on place B' sur la demi-droite [BC) tel que BB' = 3BC, il est absolument impossible de placer B' entre B et C...).

Par contre pour le point D, rien que lire la formule donnée pour [tex]\overrightarrow{AD}[/tex] ne m'a pas donné l'envie d'essayer...

@+

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