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uni

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intégrale uniformément convergente et méthode de Gauss

Bonsoir,
on pose $g(\xi)= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix.\xi} e^{-a x^2} dx$ où $\xi \in \mathbb{R}$.
1. Il est dit que $g$ est uniformément convergente. Que veut dire que $g$ est uiformément convergente?
2. Ensuite on dit que $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{\partial}{\partial \xi} (e^{-i x.\xi} e^{-ax^2} dx$ est uniformément convergente, ce qui nous permet d'écrire que $g'(\xi)= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{\partial}{\partial \xi} (e^{-i x.\xi} e^{-ax^2} dx$. Pourquoi ça nous permet cette écriture?
3. Finalement, on remarque que $g$ vérifie l'équation differentielle $2a g'(\xi) + \xi g(\xi)=0$ et par la méthode de Gauss on trouve que
$$
g(\xi)= g(0) e^{-\dfrac{\xi^2}{4a}}.
$$
Je ne comprend pas comment utiliser la méthode de Gauss. Pouvez cous me donner les grandes lignes?
Merci par avance.

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : intégrale uniformément convergente et méthode de Gauss

Salut

- Pour la question 3), c'est tout simplement , comment intégrer une  équation différenteille linéaire scalaire homogène du prmier ordre:  [tex]y'=a(t) y[/tex].
- Pour la question 1)  si [tex]X[/tex] est une partie non vide de [tex]\mathbb R[/tex] et [tex]t \mapsto f(x,t)[/tex]  est localement intégrable sur [tex][a,b[[/tex] , pour tout [tex]x \in X[/tex], on dit que l'intégrale [tex]I=\int_a^b f(x,t) dt [/tex]  est uniformément convergente sur  [tex]X[/tex] si  [tex]\sup\limits_{x \in X} \left|\int_c^b f(x,t) dt\right|[/tex] tends vers [tex]0[/tex] quand [tex]c[/tex] tends vers [tex]b[/tex] à gauche.
- Pour la question 2), c'est la conséquence d'un théorème .
Sauf erreur de ma part.

Fred

Administrateur

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Messages : 7 058

Re : intégrale uniformément convergente et méthode de Gauss

Bonsoir,

  Pour compléter la réponse de Mohamed, le théorème utilisé pour la question 2 est sur cette page (dérivabilité des intégrales à paramètres).
Et la convergence uniforme de $g$ vient de la majoration
$$|e^{-ix\xi}e^{-ax^2}|\leq e^{-ax^2}$$
où le terme de gauche est intégrable sur $\mathbb R$ et ne dépend plus de $\xi$.

F.