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#1 15-03-2018 14:19:11

bigmelo
Membre
Inscription : 22-02-2018
Messages : 20

espace vectoriel

Bonsoir chers amis. J'ai un fait un peu les espaces vectoriels et maintenant je voudrais savoir:

1)Les espaces vectoriels modélisent quoi concrètement?
2)En quoi ça peut nous être utile de définir une structure d'espace vectoriel?
3) Dans la pratique elle nous sert a quoi?

Merci pour vos explications.

Dernière modification par bigmelo (15-03-2018 14:19:38)

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#2 16-03-2018 10:25:22

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : espace vectoriel

Bonjour Bigmelo,

  Vaste(s) question(s). La structure d'espace vectoriel est une (la?) structure fondamentale en mathématiques. Elle généralise le calcul vectoriel en dimension 2 et en dimension 3 que tu connais déjà. Ils servent à modéliser les ensembles pour lesquels tu as deux opérations (une addition de deux éléments et une multiplication par un réel ou un complexe) qui vérifient certaines propriétés.
C'est une structure très importante pour de nombreuses raisons :
1. généraliser les notions que tu as déjà étudié dans le plan ou dans l'espace en rajoutant d'autres coordonnées. Et c'est très important de pouvoir avoir plus que 3 coordonnées. Dans plein de problèmes très concrets, il y a beaucoup de paramètres en jeu (imagine en météo, tu as le vent, la pression atmosphérique, l'humidité, la température,....). Avoir un cadre abstrait pour manipuler ceci est fondamental.
2. obtenir un cadre abstrait aux notions de base. Tu as sans doute déjà fait des changements de repère dans le plan et dans l'espace. C'est important de pouvoir le faire dans des cadres plus généraux. L'exemple le plus simple est peut-être celui des polynômes. Tu sais que tout polynôme de degré 3 s'écrit en fonction des 4 polynômes 1,X, X^2 et X^3. Mais si je te donne maintenant les 4 polynômes (X-1)(X-2)(X-3), X(X-2)(X-3), X(X-1)(X-3), X(X-1)(X-2), est-ce encore vrai que tout polynôme de degré 4 peut s'écrire en fonction de ces 4 polynômes.
3. donner un cadre à la résolution de systèmes. Tu as déjà résolu des systèmes de 2 équations à 2 inconnues. Mais quand tu veux résoudre des systèmes de n équations avec p inconnues (et éventuellement $n\neq p$), c'est la théorie des espaces vectoriels qui te guide dans la résolution, qui te donne des indications sur la taille et la structure de l'ensemble des solutions....

et il y a plein d'autres exemples comme cela (matrices, applications linéaires qui généralisent les fonctions linéaires, etc...).
Même si la théorie peut sembler rébarbative au départ, c'est vraiment une théorie d'un grand intérêt.

F.

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#3 17-03-2018 06:49:39

bigmelo
Membre
Inscription : 22-02-2018
Messages : 20

Re : espace vectoriel

Merci Fred mais est ce que je peux dire que les espaces vectoriels sont des vecteurs?
Et si je veux bien comprendre cette structure avec les représentations qui vont avec ou dois je commencer?

Merci pour tes réponses.

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#4 17-03-2018 07:39:27

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : espace vectoriel

Non ! Les espaces vectoriels sont des ensembles dont les éléments sont appelés vecteurs

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#5 17-03-2018 08:08:51

bigmelo
Membre
Inscription : 22-02-2018
Messages : 20

Re : espace vectoriel

OK merci Fred. Donc si je comprends biens on ajuste étendu la notions de nombres réels et de nombres complexes en une histoires de couples , de triplet etc.

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#6 18-03-2018 00:45:57

MOHAMED_AIT_LH
Invité

Re : espace vectoriel

Bonsoir
Ce n'est pas clair surtout quand tu parles de triplets.
La première  fois où on voit les vecteurs au collège , ce sont des segments orientés qu'on note [tex]\vec{AB}[/tex] pour [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] points du plan.
Si on fixe un point [tex]O[/tex] du plan on peut toujours écrire le vecteur [tex]\vec{AB}[/tex] sous la forme [tex]\vec{OM}[/tex] où [tex]M[/tex] est l'unique point du plan tel que le quadrilatère [tex]OMBA[/tex] est un parallélogramme.
Cette propriété nous perme de sommer deux vecteurs et de multiplier un vecteur par un nombre réel. Par exemple si [tex]M[/tex] et [tex]N[/tex] son deux points du plan alors  [tex]\vec{OM}+\vec{ON}=\vec{OS}[/tex] où [tex]S[/tex] est l'unique point du plan tel que [tex]OMSN[/tex] est un parallélogramme.
Il s'avère qu'on a observé les propriétés suivantes:
1) Si [tex]u,v,w[/tex] sont trois vectuers alors [tex](u+v)+w=u+(v+w)[/tex]
2) Il existe une vecteur nul [tex]\vec 0[/tex]  ( le vecteur [tex]\vec{OO}[/tex]) tel que pour tout vecteur [tex]u[/tex], on a : [tex]u+\vec 0 = \vec 0 + u = u.[/tex]
3) Si [tex]u=\vec{OM}[/tex]  est un vecteur  alors  [tex]u+u'=u'+u =\vec 0[/tex]  où   [tex]u'=\vec{OM'}[/tex] et [tex]M'[/tex] le symétrique de [tex]M[/tex] par rapport à [tex]O[/tex].
4) Pour tous vecteurs  [tex]u[/tex]  et  [tex]v[/tex],  on a : [tex]u+v=v+u[/tex]
5) [tex]1.u=u[/tex]  pour  tout  vecteur  [tex]u[/tex].
6) [tex]\alpha.(\beta.u)=(\alpha\beta).u[/tex] pour tous nombres réels  [tex]\alpha[/tex]  et   [tex]\beta[/tex]  et  tout  vecteur  [tex]u[/tex].
7) [tex](\alpha +\beta).u=\alpha.u +  \alpha.v[/tex]  pour tous nombres réels [tex]\alpha[/tex]  et  [tex]\beta[/tex]  et  tout vecteur [tex]u[/tex].
8) [tex]\alpha.(u+v)=\alpha. u +  \alpha.v[/tex]  pour  [tex]\alpha[/tex] réel  et  [tex]u[/tex]  vecteur;
Ces huit propriétés suffisent en général pour faire toutes les manipulations nécessaires avec les vecteurs dans le plan, alors on a pensé à chercher à construire d'autres ensembles qui ressemblent à la situation du plan et ses vecteurs: Un ensemble [tex]E[/tex] non vide muni d'une loi interne [tex]+[/tex] et une loi externe à opérateurs dans [tex]\mathbb R[/tex] ( on généralisera avec un corps après)  qui vérifient les huit axiomes ci-dessus est appelé un espace  vectoriel sur [tex]\mathbb R[/tex].
On dispose donc de beaucoup d'espaces vectoriels à part le plan et l'espace usuels, et on des exemples comme [tex]\mathbb R
[/tex] lui même pour qui on garde son addition usuelle comme loi interne et sa multiplication usuelle qui est adoptée comme loi externe et on va remarquer que cet espace vectoriel se comporte comme une droite en géométrie. De même [tex]\mathbb R^2[/tex]  muni de l'addition usuelle des couples et la multiplication par un réel qui consiste à multiplier chaque composante par ce réel et on obtient un espace vectoriel qui se comporte exactement comme un plan.
D'autres espaces vectoriels plus abstraits comme l'ensemble des applications de [tex]\mathbb R[/tex]  vers  lui même muni de l'addition des applications et leur multiplication par un réel fournissent d'autres exemple d'espaces vectoriels ...

#7 18-03-2018 01:25:54

bigmelo
Membre
Inscription : 22-02-2018
Messages : 20

Re : espace vectoriel

Merci beaucoup pour cette clarification

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#8 18-03-2018 02:25:13

MOHAMED_AIT_LH
Invité

Re : espace vectoriel

Je t'en prie !

#9 19-03-2018 09:54:32

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : espace vectoriel

Bonjour

  Si ça t'intéresse en ce moment on trouve en kiosque un numéro spécial du magazine Tangente consacré aux espaces vectoriels. Tu y trouveras des explications complémentaires sur ce que c'est et à quoi ça sert.

F

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