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#1 12-03-2018 20:46:06

leof34
Invité

Système d'équations différentielles appliqué à la biologie

Bonjour,

J'ai un devoir à faire sur un modèle biologique qui utilise un système d'équations différentielles mais je n'arrive pas à faire la première question. Je vous mets donc le sujet en espérant que vous puissiez m'aider.

L'intéraction entre deux espèces H (hôte) et P (parasite) est décrite par le modèle suivant :

dH/dt = (a1 - b1H - c1P)H, dP/dt = (-a2 + c2H)P où H est la taille de la population des hôtes et P la taille de la population des parasites. On précise que les paramètres sont positifs.

Soit D = a1c2 - a2b1. Trouver des équilibres (ayant un sens biologique (H>=0, P>=0)) de ces populations, ainsi que leurs types dans trois situations i) 0<D<a2b1^2/(4c2), ii) D>a2b1^2/(4c2) et iii) D<0.

Merci d'avance pour votre aide !

#2 12-03-2018 21:27:33

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 000

Re : Système d'équations différentielles appliqué à la biologie

Bonjour,

  J'imagine qu'un équilibre correspond à des populations qui ne varient plus, c'est-à-dire à dH/dt=0 et à dP/dt=0. Dans ce cas, tu as un système d'équations en H et P à résoudre. Le problème, c'est que je ne vois pas apparaître ton D dans la résolution de ce système. Es-tu sûr de ton modèle? Bon, peut-être aussi que j'ai raté quelque chose....

F.

Hors ligne

#3 14-03-2018 09:50:19

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 38

Re : Système d'équations différentielles appliqué à la biologie

Bonjour,

Il est souvent intéressant d'opérer un changement de fonction en partant de solutions singulières - dans le cas présent les solutions stationnaires caractérisées par l'annulation des dérivées; le système d'ED devient:
0 = (a1 - b1H0 - c1P0)H0
0 = (-a2 + c2H0)P0
et conduit aux équations:
a1 = b1H0 + c1P0
a2 = c2H0
si l'on renonce aux solutions triviales: H0 = 0 et P0 = 0 .
On obtient donc:
H0 = a2/c2 , et
P0 = (a1 - b1H0)/c1 = (a1 - b1a2/c2)/c1 = (a1c2 - b1a2)/(c1c2) = D/(c1c2) .

En posant maintenant H = H0 + x et P = P0 + y , il vient:

x' = -(b1x + c1y)(H0 + x) ;
y' = c2x(P0 + y) .

Voilà quel pourrait être le point de départ de la discussion.
On peut aussi envisager d'éliminer la variable temps par l'expression du rapport (y'/x').

Hors ligne

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