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francoisdahmali

Invité

suite de variable aléatoires

Salut, pouvez vous m'aider svp pour resoudre cet exercice:

Dans un espace probabilisé $(\Omega ,\mathcal{A},\mathbb{P}),$ on considère une suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ de variables aleatoire positives verifiant:

$$\sum_{n \in \mathbb{N}^*}{\mathbb{P}(\left\{X_n \geq n\right\})} < +\infty$$

Alors la question est de preciser si les affirmations suivantes sont exactes ou pas, si c'est oui il faut justifier pourquoi et si c'est non, il faut donner un contre-exemple:

1) Presque surement, on a : $\limsup_{n \rightarrow +\infty} \ \frac{X_n}{n}\leq 1.$
2) Presque surement, on a : $\limsup_{n \rightarrow +\infty} \ \frac{X_n}{n} <1.$
3) Presque surement, on a : $sup_{n \in \mathbb{N}^*}\frac{X_n}{n} \leq 1.$

Alors j'ai essayé d'utiliser le lemme de Borel-Cantelli, pour dire que $\mathbb{P}(\limsup_{n \rightarrow +\infty}\left\{\frac{X_n}{n} \geq 1\right\})=0$ càd $\mathbb{P}(\bigcup_{n \in \mathbb{N}^*}{\bigcap_{k\geq n}{\left\{\frac{X_k}{k}  < 1\right\}}})=1$, d'où
$$\exists n_0 \in \mathbb{N}^*;\forall k\geq n_0, \frac{X_k}{k}<1 \ p.s.$$

mais je ne sais pas comment continuer, Avez vous une idée comment parvenir à $\limsup_{n\rightarrow +\infty}{\frac{X_n}{n}}?$

aussi j'ai essayé de trouver des contre-exemples (je pense que 2) et peut etre 3) sont fausses), mais j'ai rien trouvé.
Encore j'aimerai savoir s'il y a une methode autre que le lemme de Borel-cantelli pour resoudre l'exercice

Merci

SpeakX

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Re : suite de variable aléatoires

Bonjour,
Tu est arrivé à $\frac{X_k}{k}<1$ à partir de $n_0$, donc $\forall N \geq n_0$ on  a $\forall k\geq N, \frac{X_k}{k}<1$, donc
$\forall N\geq n_0, \sup\limits_{k\geq N}\frac{X_k}{k} \leq 1$, et passe à la limite lorsque $N\rightarrow +\infty$
$\lim\limits_{N \rightarrow +\infty} \sup\limits_{k\geq N}\frac{X_k}{k} \leq 1$ !
D’où 1 est vraie !
Bonne chance,

SpeakX

Dernière modification par SpeakX (10-03-2018 14:45:00)

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Re : suite de variable aléatoires

Bonjour,

La dernière assertion est fausse ! En effet,

Si on prend $X_1 = 2$ (Variable aléatoire constante), et les autres tel que la série converge, par exemple $\forall k\geq 2$, $X_k$ suit la loi uniforme (discret) sur $\{0,1,2,...,n-1\}$, alors la série converge (La somme égale à 1, car tjr $X_n<n$ pour $n\geq 2$, et il ne reste que $\mathbb{P}(X_1\geq1) = 1$), mais on a $\frac{X_1}{1} = 2$, donc forcément $$\sup\limits_{n \in \mathbb{N}^{*}}(\frac{X_n}{n})\geq 2$$

SpeakX

Dernière modification par SpeakX (10-03-2018 15:07:15)

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Re : suite de variable aléatoires

Enfin,
La deuxième assertion est fausse, en effet :
Soit $(X_n)_{n\in \mathbb{N}^{*}}$ tel que $\mathbb{P}(X_n = n-1) = 1-p_n$ et $\mathbb{P}(X_n = n )= p_n$ avec par exemple $p_n = \frac{1}{n^2}$, on a $\sum\limits_{n\in \mathbb{N}^*} \mathbb{P}(X_n \geq n ) = \sum\limits_{n\geq1}p_n < \infty$.
D'autre par, on a presque surement $\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad n-1\leq X_n \leq n$ donc $1-\frac{1}{n}\leq \frac{X_n}{n} \leq 1$, d'ou $X_n/n$ converge presque surement vers $1$, donc $\lim\sup\limits(\frac{X_n}{n}) = 1$... Contre exemple !!

SpeakX

Dernière modification par SpeakX (10-03-2018 16:57:29)

francoisdahmali

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Re : suite de variable aléatoires

Salut, j'avais une autre question, svp, concernant le meme exercice :
je desire prouver que si $\limsup_{n}{\frac{X_n}{n}}>1$ alors pour tout $n \in \mathbb{N}^*,$ il existe $k \geq n,$ tell que $\frac{X_k}{k} \geq 1$

je penses que c'est la contraposée de celle prouvée ci-dessus, mais est-ce qu'il existe une autre façon pour prouver cette proposition??

francoisdahmali

Invité

Re : suite de variable aléatoires

j'ai pas compris pourquoi dans votre premier exemple exemple $sum_{n \in \mathbb{N}^*}\frac{X_n}{n}\geq 2??,$ (c'est pas vrai pour tout $w \in \Omega$

Dernière modification par yoshi (12-03-2018 12:27:53)

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Re : suite de variable aléatoires

Bonjour,

1- Pour ta première question, c'est par définition de $limsup$, utilisez le fait que si $u_n$ un suite réel qui converge vers $l$ et $a<l<b$ avec $a,b,l$ des réels alors, à partir d'un certain rang on a $a\leq u_n \leq b$ !!

2- Pour la deuxième question $\sup\limits_{n \in \mathbb{N}^*}\frac{X_n}{n} \geq 2$, c'est prsque pour tout $\omega$, puisque $X_1 = 2$ presque pour tout $\omega$, en fait le $\sup$ est égale à 2  !!

Bonne chance !
SpeakX

Dernière modification par SpeakX (12-03-2018 17:16:46)

francoisdahmali

Invité

Re : suite de variable aléatoires

Bonjour,

1) pour la premiere question, j'ai procédé de la façon suivante:
J'ai supposé que $\limsup_n{\frac{X_n}{n}}>1,$ et alors
$$\forall n \in \mathbb{N}^*,sup_{k\geq n}\frac{X_k}{k}>1$$

je vais noter $(P)$ la derniere proposition, maintenant je vais utiliser la definition de la borne supérieure, cad c'est le plus petit majorant, en d'autre terme pour tout $n \in \mathbb{N}^*$:
$$\forall m \in \mathbb{R},(\forall k \geq n,x_k\leq m) \Rightarrow sup_{j\geq n}{x_j}\leq m$$

en prenant la contraposée de cette implication et pour m=1, on obtient:

$$(P)\Rightarrow \forall n \in \mathbb{N}^*,\exists k \geq n; \frac{X_k}{k}>1$$

D'où le résultat.

2) Pour la deuxième question, j'ai pensé à donner un autre exemple (qui ressemble à celui donné ci-dessus), dans l'espace probabilisé $([0,1],B([0,1]),\lambda),$, pour verifier que 2) est fausse, j'ai considéré la suite de v.a. definie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par
$$\forall \omega \in [0,1], X_n(\omega)=2n1_{[0,\frac{1}{2^n}]}(\omega)+(n-1)1_{]\frac{1}{2^n},1]}(\omega)$$
alors $\sum_{n \in \mathbb{N}^*}{\lambda(\frac{X_n}{n}\geq 1})=\sum_{n \in \mathbb{N}^*}{\lambda([0,\frac{1}{2^n}])}=\sum_{n \in \mathbb{N}^*}\frac{1}{2^n}<+\infty,$
on a: $\limsup_n{\frac{X_n}{n}}=\left\lbrace\begin{matrix} 2 \ si \ x=0 \\ 1 \ si \ x \in ]0,1] \end{matrix}\right.$

alors $\lambda(\limsup_n{\frac{X_n}{n}}\geq 1)=\lambda([0,1])=1>0,$ alors on peut deduire que 2) est fausse,

j'aimerai savoir, svp, si on peut construire sur $([0,1],B([0,1]),\lambda)$ un contre-exemple pour verifier que 3) est fausse??

francoisdahmali

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Re : suite de variable aléatoires

L'exemple suivant marche-t-il comme un contre-exemple pour 3)?

Si on considère sur $([0,1],B([0,1]),\lambda)$ la suite de v.a. definie pour tout $n \in \mathbb{N}^*,$ par
$X_n(\omega)=n2^{-n+2} \ \forall \omega \in [0,1]$
$\sum_{n \in \mathbb{N}^*}{\lambda(\left\{X_n\geq n \right\})}=2\lambda([0,1])=2<+\infty$
d'autre part $\lambda(\left\{sup_{n \in \mathbb{N}^*}{\frac{X_n}{n}}>1 \right\})=\lambda([0,1])=1>0$ car $sup_{n \in \mathbb{N}^*}\frac{X_n(\omega)}{n}=2 \ \forall \omega \in [0,1]$

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Re : suite de variable aléatoires

Bonjour,
Je suis d'accord ave la première question, mais je ne comprends pas ton $x$ dans la deuxième, mais je suis presque sur que ton exemple marche !
Pour la dernière ausi, ca marche, tu peux en fait fixer la première variable (constante égale à 2), et tu peux prendre n'importe quelle suite sur n'importe quel Omega et n'importe quelle tribu ... mais ca marche ton exemple est bien valide

Bonne chance !
SpeakX

francoisdahmali

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Re : suite de variable aléatoires

Salut, j'ai fait une faute, il faut remplacer x par $\omega$ (j'ai cherché la limite simple de $\frac{X_n(\omega)}{n},$ qui est aussi egale a la limite sup et j'ai distingue 2 cas pour la limite si $\omega=0$ et si $\omega \in ]0,1]),$ mais ce qui important que le contre-exemple est juste.

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Re : suite de variable aléatoires

Bon travail, keep it ;)

Bonne chance
SpeakX

francoisdahmali

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Re : suite de variable aléatoires

Merci pour votre temps et votre aide