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Nikodin

Invité

P-groupes

Salut les grands.S'il vous plaît, je suis coincé sur un exercice ou je dois utiliser la récurrence forte. En effet, la question est la suivante:

Si G est un p-groupe, montrer que le seul sous-groupe H de G tel que NH(G)=H est G lui même.
Pour résoudre le problème, j'effectue une récurrence sur le cardinal de G.
Supposons que |G|=pr
Initialisation: Si r=0, alors rien à faire.
Si r=1, Soit H<G tel que H=NH(G). Comme H<G et G de cardinal premier, alors d'après Lagrange, H={1G } ou H=G.
Si H={1G} alors NH(G)=G,ce qui est absurde. Donc H=G.
Ensuite, je pose mon hypothèse de récurrence.
Hérédité. Supposons que pour tout H<G, tel que |H|<|G|, s'il existe K<H tel que K=NK(H), alors K=H.
À partir d'ici, je n'arrive pas à avancer.

Fred

Administrateur

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Re : P-groupes

Bonsoir,

  Je ne connais pas la notation NH(G). Pourrais-tu nous dire ce qu'elle signifie?

F.