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#1 10-03-2018 14:33:18

wade
Membre
Inscription : 09-03-2018
Messages : 11

systeme d' equation

Bonjour pouvez vous m aider a resoudre cet exercice suivant :

Montrer que:     x^2+y^2=2 et z^2+t^2=2 et xz=yt  ⟺  x^2+z^2=2 et y^2+t^2=2 et xy=zt

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#2 10-03-2018 14:51:19

SpeakX
Membre
Inscription : 24-02-2018
Messages : 45

Re : systeme d' equation

Bonjour,
D'après les premières équations $x^2 + y^2 = 2$... on peut déduire que
$(x^2+y^2-2)^2 = x^4 + y^4 + 4 + 2x^2.y^2 - 4x^2 - 4y^2 = 0$
$(z^2+t^2-2)^2 = z^4 + t^4 + 4 + 2z^2.t^2 - 4z^2 - 4t^2 = 0$
$xz=yt$

D'autre part, on calcule $S(x,y,z,t) = (x^2 + z^2-2)^2 + (y^2+ t^2 -2)^2 + 2(xy-zt)^2$ !
On a $S(x,y,z,t) = x^4+z^4+4+2x^2.z^2-4x^2-4z^2 + y^4+t^4+4+2y^2.t^2-4y^2-4t^2 + 2x^2.y^2 + 2.z^2.t^2 - 4xyzt$ c'est à dire
$S(x,y,z,t) =(x^2+y^2-2)^2 + (z^2+t^2-2)^2 +2x^2.z^2+2y^2.t^2- 4xyzt = 0 + 0 + 2(yt)^2 + 2 (yt)^2 - 4 (yt)^2 = 0 $

On vient de montrer que $S(x,y,z,t) = 0$, d'ou le résultat demandé ! (Remarquer que S est la somme de termes positives)
Bonne chance !

SpeakX

Dernière modification par SpeakX (10-03-2018 17:36:58)

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#3 10-03-2018 15:38:24

wade
Membre
Inscription : 09-03-2018
Messages : 11

Re : systeme d' equation

mercie !

Dernière modification par wade (10-03-2018 15:40:59)

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