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Ablaise

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Gros doute sur une démonstration (isomorphisme)

Bonjour,

Je cherche à répondre à cette question:
E est un espace euclidien
On note [tex] \varphi_a: x\mapsto(x|a) [/tex] et [tex] \varphi:a\mapsto\phi_a[/tex] l'application de E dans [tex]L(E,\mathbb{R})[/tex].
Montrer que  [tex] \varphi[/tex] est un isomorphisme.

Le côté linéaire de [tex] \varphi[/tex] pas de problème.

J'ai posé [tex] \psi[/tex] de [tex]L(E,\mathbb{R})[/tex] dans E l'application [tex] \psi:f\mapsto\sum_{1<=i<=n}f(e_i)e_i[/tex] avec
[tex] (e_i)_i [/tex]une base de E

Alors [tex] \forall f\in L(E,\mathbb{R}), \forall a\in E,\varphi(\psi(f))(a)=\varphi(\sum_{1<=i<=n}f(e_i)e_i)(a) =(\sum_{1<=i<=n}\varphi(f(e_i)e_i))(a)=(\sum_{1<=i<=n}f(e_i)\varphi(e_i))(a)[/tex]
[tex]=\sum_{1<=i<=n}f(e_i)(a|e_i)=f(a)[/tex]
D'où [tex]\psi=\varphi^{-1}[/tex] dont la linéarité est facile à montrer.
Ainsi [tex] \varphi[/tex] est un isomorphisme.

Merci de me donner votre avis sur cette démonstration.

Fred

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Re : Gros doute sur une démonstration (isomorphisme)

Bonjour,

  Il manque un $(a)$ pour le 4ème terme de la suite de ton égalité, sinon, je pense que c'est correct.
Un détail, le signe $\leq$ s'écrit \leq sous LateX.

F

Ablaise

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Re : Gros doute sur une démonstration (isomorphisme)

Bonjour,

Merci me voilà rassuré.

Bonne journée.