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#1 07-03-2018 02:29:44

bigmelo
Membre
Inscription : 22-02-2018
Messages : 20

la vraisemblance d'une loi uniforme

Bonsoir chers amis je n'arrive pas a calculer la vraisemblance d'une loi uniforme de paramètre [0 , thêta] avec aussi l'EMV aussi.

Pouvez vous m'aider a comprendre comment ca fonctionne au cas ou j'ai un modèle qui n'ai pas régulier? Merci d'avance.

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#2 07-03-2018 16:43:55

Fuchur
Membre
Inscription : 07-03-2018
Messages : 4

Re : la vraisemblance d'une loi uniforme

Bonjour,

il me semble que la densité d'une loi uniforme sur l'intervalle $[0,\theta]$ est $f(x) = \frac{1}{\theta}1_{[0,\theta]}(x)$, donc la fonction de vraisemblance pour $n$ valeurs empiriques $x_1 ,\ldots, x_n$ est
$$L(\theta,x_1 ,\ldots, x_n ) = \frac{1}{\theta^n}\prod_{i=1}^{n}1_{[0,\theta]}(x_i )$$
Pour $\theta \geq \max\{ x_1 ,\ldots, x_n \}$ on peut passer au logarithme et calculer la dérivée par rapport à $\theta$, on obtient
$$ \frac{d}{d\theta}(\ln\circ  L) =-\frac{n}{\theta}< 0$$
Donc $L$ est maximal pour $\theta = \max\{ x_1 ,\ldots, x_n \}$; ceci devrait être l'estimateur du maximum de vraisemblance (EMV).

Bonne journée

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#3 08-03-2018 16:38:59

bigmelo
Membre
Inscription : 22-02-2018
Messages : 20

Re : la vraisemblance d'une loi uniforme

Ce que je n'arrive pas a comprendre c'est le max des Xi sa vient d’où.
Tu peux être un peu explicite sur ce point merci d'avance.

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#4 08-03-2018 20:09:46

Fuchur
Membre
Inscription : 07-03-2018
Messages : 4

Re : la vraisemblance d'une loi uniforme

Bonjour,

si j'ai bien compris ton problème, tu as une loi uniforme sur un intervalle $[0; \theta]$, mais tu ne sais rien sur la valeur de $\theta$ (sauf que c'est un nombre positif).

Tu aimerais estimer cette valeur, donc tu vas faire quelques essaies et tu obtiens un échantillon $x_1,\ldots, x_n$ de nombres dans cet intervalle $[0; \theta]$.

Pour estimer $\theta$ la "meilleure" façon de faire est de prendre le maximum de ces nombres.

Bonne soirée

P.S. Un exemple (fait avec R)
> t<- 5
> n<-10
> X<-runif(n,0,t)
> X
[1] 3.7096444 2.9108017 4.7449129 4.7710707 2.1354298 3.4945009 4.3078905
[8] 0.8247024 2.0627494 1.2050983
> t_est<-max(X)
> t_est
[1] 4.771071
Pour 10 valeurs l'estimation est  4.771071

> t<- 5
> n<-100
> X<-runif(n,0,t)
>
> t_est<-max(X)
> t_est
[1] 4.933129
pour 100 valeurs l'estimation est  4.933129

> t<- 5
> n<-1000
> X<-runif(n,0,t)
>
> t_est<-max(X)
> t_est
[1] 4.991181
pour 100 valeurs l'estimation est  4.991181

Dernière modification par Fuchur (08-03-2018 20:25:55)

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