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#1 04-03-2018 20:28:07

SpeakX
Membre
Inscription : 24-02-2018
Messages : 43

Continuité de $f^{-1}$ entre deux compactes

Bonjour,

J'arrive pas à démontrer la propriété suivante :

Soit $X$ et $Y$ deux espaces topologiques, on suppose de plus que $X$ et $Y$ sont compactes, et soit $f: X \rightarrow Y$ une bijection, tel que $f$ continue, alors $f^{-1}$ est continue !

Bonne chance !

SpeakX.

Dernière modification par SpeakX (04-03-2018 20:29:07)

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#2 04-03-2018 22:03:20

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 990

Re : Continuité de $f^{-1}$ entre deux compactes

Bonjour

  Une application est continue si et seulement si l'image réciproque de tout fermé est un fermé. Donc il suffit que tu prouves que l'image par  $ f $  (puisque tu t'interesses à la continuité de  $ f^{-1} $ ) de tout fermé est un fermé. Mais un fermé dans un compact est lui-même compact...et donc...

Fred

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#3 05-03-2018 00:53:03

SpeakX
Membre
Inscription : 24-02-2018
Messages : 43

Re : Continuité de $f^{-1}$ entre deux compactes

Merci !! Exactement, l'image d'un compacte par une application continue est une partie compacte de l'ensemble d'arrivé (Donc fermé) !

Sauf que est ce que c'est vrai que "un sous ensemble fermé d'un espace topologique compacte X (X est quelconque pas métrique, pas de dim fini, pas séparé.. mais quelconque) est compacte ? (Je connais le résultat dans le cas métrique, {le cas dimension fini --> les fermés bornées}) !
Mais je ne suis pas sur du cas général  !

SpeakX

Dernière modification par SpeakX (05-03-2018 00:54:38)

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#4 05-03-2018 12:20:33

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 990

Re : Continuité de $f^{-1}$ entre deux compactes

Ca marche aussi (enfin, au moins dans les espaces séparés, je ne travaille jamais dans les espaces non séparés...)
Si $F$ est un fermé du compact $K$ et si $(U_i)_{i\in I}$ est un recouvrement par des ouverts de $F$, alors $(U_i)_{i\in I}\cup\{F^c\}$ est un recouvrement par des ouverts de $K$. On peut en extraire un sous-recouvrement fini. Ce sous-recouvrement recouvre aussi $F$!

F.

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#5 05-03-2018 17:06:42

SpeakX
Membre
Inscription : 24-02-2018
Messages : 43

Re : Continuité de $f^{-1}$ entre deux compactes

Ok, Merci !
SpeakX

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#6 05-03-2018 21:08:43

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Continuité de $f^{-1}$ entre deux compactes

Bonsoir,
@Fred : pour ma culture, où intervient la séparabilité de $K$ dans ta démonstration ?


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#7 05-03-2018 21:45:59

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 990

Re : Continuité de $f^{-1}$ entre deux compactes

Bonsoir Yassine,

  A mon avis la séparabilité de $K$ n'intervient nulle part. J'ai dit que je prenais séparé pour éviter tout problème, notamment de terminologie. Si je me souviens bien, la littérature francophone (depuis Bourbaki) définit un compact comme un espace topologique séparé pour lequel la propriété de Borel-Lebesgue est vérifiée (autrement dit, tout compact est séparé). La littérature anglophone ne demande pas nécessairement à ce qu'un compact soit séparé (un "compact" français sera appelé un "compact de Hausdorff" par un anglo-saxon).
  Pour la plupart des propriétés topologiques, ça ne fait aucune différence, comme ici. Il y a une différence quand on veut démontrer des propriétés d'unicité de limite. Notamment, si on veut caractériser un espace métrique compact par la propriété de convergence vers une limite unique des ultrafiltres (la généralisation au cas non métrique de la propriété de Bolzano-Weierstrass), on doit faire l'hypothèse que l'espace est séparé.

F.

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#8 06-03-2018 09:21:15

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Continuité de $f^{-1}$ entre deux compactes

Bonjour Fred,
Merci pour le rappel.
Il me semble en effet avoir lu quasi-compact pour désigner le espaces vérifiant Borel-Lebesgue.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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