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Bruce23

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Convergence d'une matrice

Bonjour tout le monde, j'ai un petit problème concernant la dernière partie de la correction d'un exercice, le voici :
Soit la matrice à coefficients réels $$A=\begin{pmatrix}p&q&r\\q&r&p\\r&p&q\\\end{pmatrix}$$
En cas de convergence, déterminer la limite de $A^n$

A est une matrice symétrique, et le vecteur $U=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\\end{pmatrix}$ est un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda=p+q+r$
notons $a$ et $b$ les deux autres valeurs propres
$tr(A)=p+q+r$ nous donne $a=-b$
donc $A^n$ converge ssi $|a|<1$ et $|p+q+r|\leqslant 1$
Si $|p+q+r|<1$ alors $A^n$ converge vers la matrice nulle.
Si $|p+q+r|=1$ alors $A^n$ converge vers la matrice $Q=P\begin{pmatrix}0&&\\&0&\\&&1\\\end{pmatrix} {^tP}$
avec $P$ la matrice de passage de la base canonique a la base fournie par les vecteurs propres (théorème spectrale).
Jusque là j'ai bien compris.
En suite ils écrivent que :
$Q^2=Q$ donc $Q$ est la matrice de projection orthogonal sur $Vect(U)$ et donc $Q=\frac{U^tU}{^tUU}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{pmatrix}$
Pouvez vous m'expliquer la dernière ligne s'il vous plait ?
Merci de votre aide

Fred

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Re : Convergence d'une matrice

Bonsoir,

  $Q^2=Q$ donc $Q$ est une projection, c'est une projection orthogonale car $Q$ est symétrique, et de $AU=U$ on tire $QU=U$. Puisque de plus le rang de $Q$ est égal à 1, c'est donc que $Q$ est la projection orthogonale sur $\textrm{vect}(U)$. La dernière formule s'obtient simplement en faisant le produit $PD^tP$, en observant que le dernier vecteur de $P$ est $U/\|U\|=U/\sqrt{{}^t U U}$.

F.