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#1 27-02-2018 06:11:14

convergence
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Wronskien

Bonjour,

Comment démontrer le théorème qui ce trouve dans cette page:

http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … skien.html

merci

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#2 27-02-2018 07:23:14

SpeakX
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Re : Wronskien

Bonjour,
Je crois qu'il faut ajouter la condition $A(t)$ est continue !
Soit l'équation $Y^{'}(t) = A(t).Y(t)$ avec $Y$ dans $\mathbb{R}^n$ défini sur un $I$ et $A$ continue, alors l'ensemble de solution est un espace vectoriel de dimension $n$ + Les résultats à propos du Wronskien.

Si 1 alors 2 : Trivial !
Équivalence entre 2 et 3 : Essaye de montrer que $\forall t \in I, \quad W(t) = W(t_0) \exp(\int_{t_0}^{t}Tr(A(u))du)$.
Si 3 alors 1 : Si 3 alors la famille $(Y,_1, Y_2, ..., Y_n)$ est libre et dimension de l'espace de solution égale à $n$, donc c'est une base de solution !

Pour montrer $W(t) = W(t_0) \exp(\int_{t_0}^{t}Tr(A(u))du)$, essaye de montrer que $W^{'}(t) = Tr(A(t)).W(t)$, et pour dériver le $det$ pense à son différentiel.

Bonne chance !
SpeakX

Dernière modification par SpeakX (27-02-2018 07:26:24)

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#3 27-02-2018 18:41:14

convergence
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Re : Wronskien

Bonsoir,  s'il vous plait

je n'arrive pas avec 1 implique 2 pourquoi c'est trivial ?

merci

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#4 27-02-2018 19:26:08

SpeakX
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Re : Wronskien

Bonsoir,

1 implique 2 : Si $(Y_1, Y_2, ...., Y_n)$ est un système fondamental de solutions, c'est à dire une base de solution, et puisque le déterminant d'une famille libre (Dans ce cas une base) est toujours non nul alors $det(Y_1, Y_2, ...., Y_n)$ est non nul, d'ou 2 !
Si ce n'ai pas claire, je peux détailler :), bonne chance !

SpeakX

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#5 28-02-2018 19:01:33

convergence
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Re : Wronskien

Merci beaucoup,

s'il vous plait c'est quoi l'idée pour passer de 2 à 1 ?

Merci

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#6 28-02-2018 20:32:30

SpeakX
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Re : Wronskien

Bonjour,

Si vous montrez ce que je vous ai dis, il ne sera pas nécessaire de montrer l'implication (2 implique 1) !
En fait c'est une méthode classique pour montrer des équivalences, il faut juste bien choisir les implications à montrer, dans ce cas on vient de montrer que : $(1) \Longrightarrow (2) \Longleftrightarrow (3) \Longrightarrow (1) $ (On pouvaient juste montrer que $(1) \Longrightarrow (2) \Longrightarrow (3) \Longrightarrow (1)$) donc on a montré toutes les implications par transitivité de "la relation" $\Longrightarrow$ !

Pour répondre à votre question :  il suffit de voir que (2) implique (3) et (3) implique 1 donc (2) implique (1) !

Bonne chance,

SpeakX

Dernière modification par SpeakX (28-02-2018 20:36:12)

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#7 28-02-2018 20:37:04

convergence
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Re : Wronskien

j'ai posé cette question, parceque dans mon cours c'est inversé, entre 2 et 3.

Et s'il vous plait je n'arrive pas a montrer $W'(t)=tr(A) W(t)$ ni comment l'utiliser pour montrer que la famille est libre

merci

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#8 28-02-2018 20:45:59

SpeakX
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Re : Wronskien

Ok,
Si vous avez fait un peu de Calcul diff, le dif du déterminant n'est pas très difficile à trouver à l'aide du transposé de la comatrice !

Sinon, vous pouvez montrer la même équation diff vérifier par le Wronskien à l'aide de la définition $det(A) = \sum\limits_{\sigma \in \sigma_n} \epsilon(\sigma) \prod_\limits{1\leq i \leq n} a_{i\sigma(i)}$ !

Si vous montrer que $W(t)$ s'écrit sous la forme de l’exponentiel, alors $W$ est nul si et seulement si $W(t_0)$ est nul et ceci si et seulement si $W$ s'annule en un point !!!
Pour la liberté, il faut connaitre que le déterminant d'une famille est non nul si et seulement si cette famille est libre !!!!

Si vous n'arriver pas à vous en sortir à partir de ce que je viens de raconter, je peux vous chercher qlq chose en ligne !

SpeakX

Dernière modification par SpeakX (28-02-2018 20:46:44)

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#9 28-02-2018 20:57:00

convergence
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Re : Wronskien

j'ai un problème avec la dérivée du determinant, j'ai vu ca : https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi%27s_formula

je ne sais pas si ca peut m'aider

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#10 28-02-2018 21:08:27

SpeakX
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Re : Wronskien

Oui exactement ça, aussi la dérive du composer !

Sinon comme je vous ai déjà confirmer vous pouvez dériver à l'aide de la définition, voila ci joint (lien) comment dériver à l'aide de la deuxième méthode : http://www.cpgedupuydelome.fr/IMG/pdf/1 … omplet.pdf (Page 7) !

SpeakX

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#11 01-03-2018 11:04:33

Ely
Invité

Re : Wronskien

Salut,
Désolé de m'immiscer dans votre explication, SpeakX, mais le point 1) => 2) ne découle pas vraiment de votre explication, ce n'est pas si trivial, mais du théorème de Cauchy sur les solutions de l'équation différentielle [tex](E) : Y' = AY[/tex] : en effet, celui-ci énonce en particulier que l'application [tex]\Psi : Y \in Solutions(E) \mapsto Y(0) \in \mathbb{R}^n[/tex] est un isomorphisme, et ainsi puisque [tex](Y_1, \dots Y_n)[/tex] est une base de l'espace source, on trouve bien une valeur (ici 0, mais tout réel de l'intervalle convenait) tel que le wronskien y soit non nul.
Ce que vous dites est vrai aussi me semble-t-il, mais pas trivial (quelque chose comme quoi si [tex](f_1, \dots f_n)[/tex] est une famille libre de fonctions d'un ensemble [tex]X[/tex] vers un espace [tex]E[/tex] de dimension plus petite que [tex]n[/tex], il existe un point [tex]t \in X[/tex] tel que [tex](f_1(t), \dots f_n(t))[/tex] soit libre dans [tex]E[/tex], mais surtout cela n'a rien à voir avec le problème ici)

#12 01-03-2018 11:38:46

SpeakX
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Re : Wronskien

Bonjour, Vous avez totalement raison si $0\in I$ pas très trivial !

Il faut ajouter la condition :

$(Y_1, Y_2, ..., Y_n)$ est libre dans $Solution(E)$ ssi $(Y_1(t), Y_2(t), ..., Y_n(t))$ est libre dans $\mathbb{R}^n$ pour un $t$
Qui n'est pas du tout trivial, est c'estb explicitement utilisé en (3) implique (1) et ce qu'on peut trouver en Page 6 de ; http://www.cpgedupuydelome.fr/IMG/pdf/1 … omplet.pdf
Bien vu Ely,

SpeakX

Dernière modification par SpeakX (01-03-2018 11:41:07)

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#13 01-03-2018 18:55:51

convergence
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Re : Wronskien

Je n'ai pas compris ce que vous avez dit, comment démontrer si on suppose que $(Y_1,\ldots,Y_n)$ est libre, je dis quoi après ?

je n'ai pas compris les deux précédant commentaires, pouvez vous m'aider s'il vous plait

Dernière modification par convergence (01-03-2018 21:36:15)

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#14 02-03-2018 04:25:32

SpeakX
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Re : Wronskien

Bonjour,
En fait tout est expliquer ici : http://www.cpgedupuydelome.fr/IMG/pdf/1 … omplet.pdf Pages : 6 et 7
Bonne chance !

SpeakX

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#15 02-03-2018 14:23:57

convergence
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Re : Wronskien

Bonjour, je ne vois pas ou utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz comme a dit Ely.

Merci

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#16 03-03-2018 23:26:33

SpeakX
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Re : Wronskien

C'est pour construire l'isomorphisme entre l'ensemble de solution et $\mathbb{R}^n$ !

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