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#1 26-02-2018 21:30:53

Meli99
Invité

Calcul de limite (DL)

Bonjour,
Pouriez vous m'aidez à calculé la limite de cette fonction en utilisant les développements limités?

((sqrt x^2 + 3x +2) - x) quand x tend vers + l'infini

#2 26-02-2018 22:09:05

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 988

Re : Calcul de limite (DL)

Bonjour Meli,

  Une règle de base quand on cherche à calculer des limites : on met en facteur le terme dominant.
Donc, dans $\sqrt{x^2+3x+2}$ tu mets en facteur $x^2$ et tu trouves
$\sqrt{x^2+3x+2}=\sqrt{x^2\left(1+\frac 3x+\frac2{x^2}\right)}=x\sqrt{1+\frac3x+\frac{2}{x^2}}.$
Pose ensuite $u=\frac3x+\frac{2}{x^2}$. Quand $x$ tend vers l'infini, $u$ tend vers 0 et tu peux utiliser le développement limité que tu connais de $(1+u)^{1/2}$. Tu ne devrais pas être très loin du résultat.

F.

Hors ligne

#3 27-02-2018 10:44:56

amel zn
Membre
Inscription : 27-02-2018
Messages : 1

Re : Calcul de limite (DL)

salut il ya des cours * developpment des limites*

Hors ligne

#4 27-02-2018 13:33:59

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 24

Re : Calcul de limite (DL)

Salut,

Autre technique (sans DL) : multiplier et diviser par le "conjugué".

[tex]\sqrt{x^2+3x+2} - x[/tex]

= [tex] \frac{(\sqrt{x^2+3x+2} - x).(\sqrt{x^2+3x+2} + x)}{(\sqrt{x^2+3x+2} + x)}[/tex]

= [tex] \frac{x^2+3x+2 - x^2}{(\sqrt{x^2+3x+2} + x)}[/tex]

= [tex] \frac{3x+2}{(\sqrt{x^2+3x+2} + x)}[/tex]

= [tex] \frac{3x+2}{x.(\sqrt{1 +\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}) + x}[/tex]

= [tex] \frac{3x+2}{x.(1 + \sqrt{1 +\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}})}[/tex]

Le passage à la lim pour [tex]x \to +\infty [/tex], est alors sans difficulté.

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