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#1 25-02-2018 18:45:12
- mona123
- Invité
Isomorphisme
Soit [tex]q[/tex] un nombre premier . On considère [tex]B_q=\left\{a\in \mathbb Q\mid q^na\in \mathbb Z \text{ for some } n\ge 0\right\}[/tex].
On pose [tex]M_q=B_q/\mathbb Z[/tex] un groupe abélien.
Soit [tex]A[/tex] un abelien [tex]q[/tex]-groupe. On note [tex]f(A)= \bigcap\limits_{n\,\ge\,1} q^{n-1} A[q^n][/tex] où [tex]A[m]=\left\{q\in A\mid ma=0\right\}[/tex].
Je veux montrer que [tex]\frac{\operatorname{Hom}(M_q,A)}{q\operatorname{Hom}(M_q,A)}\cong f(A)[/tex]
en utilisant l'application [tex]g+q\operatorname{Hom}(M_q,A)\mapsto g(\frac{1}{q}+\mathbb Z)[/tex]
Merci de m'aider
#2 26-02-2018 15:27:40
- mona123
- Invité
Re : Isomorphisme
au moins pouvez vous m'aider à montrer que [tex]f(A)[/tex] est inclue dans l'image de l'application donnée?
Merci
#3 26-02-2018 16:20:34
- Yassine
- Membre
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- Messages : 1 090
Re : Isomorphisme
Bonjour,
Pour montrer ce que tu veux, il faut montrer que $g(\frac{1}{q}+\mathbb{Z}) \in q^{n-1}A[q^n]$ pour tout $n \ge 1$.
Il faut d'abord remarquer que comme $g$ est un morphisme de groupe, $q^n g(\frac{1}{q^n}) = g(1)=0$, et donc $g(\frac{1}{q^n}) \in A[q^n]$ pour tout $n \ge 1$.
Ensuite $g(\frac{1}{q})= q^{n-1} g(\frac{1}{q^n})$ et donc $g(\frac{1}{q}) \in q^{n-1}A[q^n]$
Par ailleurs, $g(\frac{1}{q}+\mathbb{Z})=g(\frac{1}{q})$ (on a qutionté par $\mathbb{Z}$ pour définir $M_q$)
Et donc $g(\frac{1}{q}+\mathbb{Z}) \in q^{n-1}A[q^n]$ pour tout $n \ge 1$, Soit encore $g(\frac{1}{q}+\mathbb{Z}) \in f(A)$.
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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#4 26-02-2018 16:24:47
- mona123
- Invité
Re : Isomorphisme
@yassine ce n'est pas l'inclusion que je veux montrer: je veux montrer que [tex]f(A)[/tex] est inclu dans l'image: c'est à dire étant donné un élément [tex]m\in f(A)[/tex], on peut trouver [tex]g\in Hom(M_q,A)[/tex] tel que [tex]m=g(\frac1q+\mathbb Z)[/tex]
#5 26-02-2018 17:12:54
- Yassine
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Re : Isomorphisme
Ok, je n'avais pas bien lu ta demande.
Dans ce cas, il faut construire explicitement le morphisme $g$.
Les éléments de $M_q$ sont de la forme $\frac{k}{q^n} + \mathbb{Z}$.
Donc, sin on connaît $g(\frac{1}{q^n})$ pour tout $n \ge 1$, alors on connaît entièrement $g$ (on impose que $g(x+\mathbb{Z})=g(x)$)
Soit donc $\alpha \in f(A)$ et soit $n \ge 1$.
Comme $\alpha \in q^{n-1} A[q^n]$, il existe $\beta_n \in A[q^n]$ tel que $\alpha = q^{n-1}\beta_n$.
On pose alors $g(\frac{1}{q^n})=\beta_n$.
Il est alors aisé de montrer que $g \in Hom(M_q,A)$ et vérifie $g(\frac{1}{q})=\alpha$
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#6 26-02-2018 17:17:28
- mona123
- Invité
Re : Isomorphisme
J'ai révisé ce que j'ai écrit, je n'arrive pas à montrer que l'application donnée est un morphisme. Pouvez vous m'aider?
#7 26-02-2018 17:58:42
- Yassine
- Membre
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Re : Isomorphisme
Ce n'est pas si aisé à montrer comme je l'ai dit.
Je regarderai ce soir.
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#8 26-02-2018 18:06:10
- mona123
- Invité
Re : Isomorphisme
je parle de l'application de départ ( dans l’énoncer du problème)
#9 27-02-2018 09:39:50
- Yassine
- Membre
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Re : Isomorphisme
Bonjour,
Tu parles bien de l'application $\rho : \frac{\operatorname{Hom}(M_q,A)}{q\operatorname{Hom}(M_q,A)} \to f(A)$ définie par
$\rho(g + q\operatorname{Hom}(M_q,A)) = g(\frac{1}{q} + \mathbb{Z})$ ?
Si c'est le cas, il y a trois points à montrer :
1- Que c'est une application (bien définie et envoie bien sur $f(A)$)
2- Qu'elle envoie l'unité sur l'unité
3- Qu'elle respecte l'addition
Lequel de ces 3 points te pose problème ?
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#10 27-02-2018 11:28:28
- mona123
- Invité
Re : Isomorphisme
Bonjour,
Je n'arrive pas à faire le point 1 et 3
[tex]\rho[/tex] ne part pas du quotient
Dernière modification par yoshi (27-02-2018 11:33:09)
#11 27-02-2018 11:56:25
- Yassine
- Membre
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Re : Isomorphisme
Pour le point 1, je l'ai montré dans mon premier post $g(\frac{1}{q} + \mathbb{Z}) \in f(A)$.
Pour le point 3, sauf mauvaise interprétation de ma part de la structure de groupe, il n'y a pas de difficulté : l'addition sur $\operatorname{Hom}(M_q,A)$ est définie point par point. Pour $g,h \in \operatorname{Hom}(M_q,A)$, le morphisme $g+h$ est défini par $(g + h): M_q \to A$ tel que $(g+h)(m) = g(m) + h(m)$.
Donc $\rho(g+h)=(g+h)(\frac{1}{q} + \mathbb{Z}) = g(\frac{1}{q} + \mathbb{Z})+h(\frac{1}{q} + \mathbb{Z})=\rho(g)+\rho(h)$.
Sauf incompréhension de ma part, la notation $g + q\operatorname{Hom}(M_q,A)$ indique bien qu'on parle d'éléments dans le quotient (comme $k + n\mathbb{Z}$ pour désigner un élément de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$.
Ce point n'est cependant pas très important.
Soit on défini un morphisme $\rho$ de $\operatorname{Hom}(M_q,A) \to f(A)$ et on utilise le premier théorème d'isomorphisme pour conclure que $\operatorname{Hom}(M_q,A)/\operatorname{Ker}(\rho) \cong \rho(\operatorname{Hom}(M_q,A))$, soit on défini directement un isomorphisme de $\operatorname{Hom}(M_q,A)/q\operatorname{Hom}(M_q,A) \to f(A)$
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#12 27-02-2018 12:15:02
- mona123
- Invité
Re : Isomorphisme
J'ai une dernière question: je veux montrer le problème suivant
Si on suppose de plus que [tex]A[/tex] est un groupe artinian abélien alors il existe un ensemble fini [tex]P[/tex] de nombre premiers et pour tout [tex]p\in P[/tex] un nombre naturel [tex]n_p[/tex] et un un [tex]p[/tex]-groupe fini [tex]B_p[/tex] tel que pour tout [tex]p\in P[/tex] ou bien [tex]n_p\ge 1[/tex] ou [tex]B_p\neq \left\{0\right\}[/tex] et A\cong \oplus_{p\in P}(M_p^{p_{n}}\oplus B_p)
astuce: Si [tex]g:M_p\to A[/tex] est un élément non nul de [tex]f(A)[/tex] alors [tex]g[/tex] est injective
If [tex]A[/tex] is Artinian abelian group then there is a finite set [tex]P[/tex] of prime numbers and for each [tex]p\in P[/tex] a natural number [tex]n_p[/tex] and a finite abelian [tex]p[/tex]-groups [tex]B_p[/tex] such that for each [tex]p\in P[/tex] either [tex]n_p\ge 1[/tex] or [tex]B_p\neq \left\{0\right\}[/tex] and A\cong \oplus_{p\in P}(M_p^{p_{n}}\oplus B_p)
astuce: if [tex]g:M_p\to A[/tex] is a non nul [tex]f(A)[/tex] then [tex]g[/tex] is injective
#13 27-02-2018 12:16:12
- mona123
- Invité
Re : Isomorphisme
J'ai une dernière question: je veux montrer le problème suivant
Si on suppose de plus que [tex]A[/tex] est un groupe artinian abélien alors il existe un ensemble fini [tex]P[/tex] de nombre premiers et pour tout [tex]p\in P[/tex] un nombre naturel [tex]n_p[/tex] et un un [tex]p[/tex]-groupe fini [tex]B_p[/tex] tel que pour tout [tex]p\in P[/tex] ou bien [tex]n_p\ge 1[/tex] ou [tex]B_p\neq \left\{0\right\}[/tex] et [tex]A\cong \oplus_{p\in P}(M_p^{p_{n}}\oplus B_p)
[/tex]
astuce: Si [tex]g:M_p\to A[/tex] est un élément non nul de [tex]f(A)[/tex] alors [tex]g[/tex] est injectiveIf [tex]A[/tex] is Artinian abelian group then there is a finite set [tex]P[/tex] of prime numbers and for each [tex]p\in P[/tex] a natural number [tex]n_p[/tex] and a finite abelian [tex]p[/tex]-groups [tex]B_p[/tex] such that for each [tex]p\in P[/tex] either [tex]n_p\ge 1[/tex] or [tex]B_p\neq \left\{0\right\}[/tex] and [tex]A\cong \oplus_{p\in P}(M_p^{p_{n}}\oplus B_p)[/tex]
astuce: if [tex]g:M_p\to A[/tex] is a non nul [tex]f(A)[/tex] then [tex]g[/tex] is injective
#14 27-02-2018 12:44:47
- Yassine
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Re : Isomorphisme
Je suis tombé sur cette discussion
Est-ce le même sujet ?
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
Hors ligne
#15 27-02-2018 13:16:14
- mona123
- Invité
Re : Isomorphisme
non ce n'ai pas le même
#16 27-02-2018 15:25:20
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : Isomorphisme
Deux choses :
1- il faut d'abord terminer un sujet avant de passer à l'autre
2- Il faudrait que tu postes l'ensemble du sujet, et non des bouts, pour pouvoir voir la logique du sujet. Tu notes $M_p^{p_{n}}$ alors que j'imagine qu'il s'agit de $M_p^{n_{p}}$. Tu dis : "if $g: M_p \to A$ is a non nul $f(A)$ ..." je ne vois pas trop ce que ça veut dire. Tu le traduis par "$g: M_p \to A$ est un élément non nul de $f(A)$". Or, $g$ est un morphisme et $f(A)$ un sous groupe de $A$, est-ce que ça veut dire que $g$ a été identifié à sa classe dans $\operatorname{Hom}(M_q,A)/q\operatorname{Hom}(M_q,A)$, qui a ensuite été identifiée, via l'isomorphisme de la première question, à un élément de $f(A)$ ?
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
Hors ligne
#17 27-02-2018 15:31:18
- mona123
- Invité
Re : Isomorphisme
oui c'est relier au premier sujet
#18 27-02-2018 15:36:48
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : Isomorphisme
Est-ce que tu as un lien vers un document donnant l'ensemble du sujet ?
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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#19 27-02-2018 17:35:43
- mona123
- Invité
Re : Isomorphisme
voila le problème
[img=question]Screenshot_12[/img]
avec p c'est q et [tex]\psi[/tex] c'et [tex]g[/tex] et [tex]\phi_1(A)[/tex] est [tex] f(A)[/tex]
#20 27-02-2018 17:38:05
- mona123
- Invité
Re : Isomorphisme
je n'arrive pas à ajouter l'image
#22 27-02-2018 17:48:32
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 989
Re : Isomorphisme
Re,
Tu devrais déposer ton image sur http://www.cjoint.com puis donner le code que tu vas obtenir.
Je constate :
1. Que tu n'as même pas prévisualisé ton message avant de cliquer sur Valider.
2. Tu as fait une copie d'écran et que tu as cru pouvoir la coller entre les balises images. Bin non, ça ne marche pas comme ça : ton image, elle est dans le presse-papiers de ton OS (Windows). Tu connais des sites où ça marche ? lesquels ? Parce que moi je n'en connais pas...
3. Tu ne sais pas que tu dois commencer par coller ton image dans un logiciel genre Paint ou Phofiltre, puis tu l'enregistrer au format .jpg ou .png sinon tu ne pourras pas déposer ton image quel que soit l'hébergeur...
Autre solution : tu recopies ton texte...
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
Hors ligne
#23 27-02-2018 17:53:39
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 989
Re : Isomorphisme
Re,
Tu devrais déposer ton image sur http://www.cjoint.com puis donner le code que tu vas obtenir.
Je constate :
1. Que tu n'avais même pas prévisualisé ton message avant de cliquer sur Valider.
2. Tu as fait une copie d'écran et que tu as cru pouvoir la coller entre les balises images. Bin non, ça ne marche pas comme ça : ton image, elle est dans le presse-papiers de ton OS (Windows). Tu connais des sites où ça marche ? lesquels ? Parce que moi je n'en connais pas...
3. Tu ne sais pas que tu dois commencer par coller ton image dans un logiciel genre Paint ou Phofiltre, puis tu l'enregistrer au format .jpg ou .png sinon tu ne pourras pas déposer ton image quel que soit l'hébergeur...
Pour aller dans le sens de Yassine : tu peux aussi regarder ici au post#14 : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=8038
Autre solution : tu recopies ton texte...
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#24 27-02-2018 18:12:27
- mona123
- Invité
Re : Isomorphisme
J'espère que ça marche
#25 27-02-2018 18:13:41
- mona123
- Invité